【信號與系統】筆記（5-4）z 域分析

Author：AXYZdong
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前言

單邊 z 變換將系統的初始條件自然地包含於其代數方程中，可求得零輸入、零狀態響應和全響應。

一、差分方程的變換解

$\sum_{i=0}^{n}a_{n-i}y(k-i)=\sum_{j=0}^{m}b_{m-j}f(k-j)$

設 $f(k)$ 在 $k=0$ 時接入，系統初始狀態爲 $y(-1),y(-2),...,y(-n)$.

取單邊 z 變換得：

$\sum_{i=0}^{n}a_{n-i}[z^{-i}Y(z)+\sum_{k=0}^{i-1}y(k-i)z^{-i}]=\sum_{j=0}^{m}b_{m-j}[z^{-j}F(z)]$

$[\sum_{i=0}^{n}a_{n-i}z^{-i}]Y(z)+\sum_{i=0}^{n}a_{n-i}[\sum_{k=0}^{i-1}y(k-i)z^{-i}]=(\sum_{j=0}^{m}b_{m-j}z^{-j})F(z)]$

$Y(z)=\frac{M(z)}{A(z)}+\frac{B(z)}{A(z)}F(z)=Y_x(z)+Y_f(z)$

令$H(z)=\frac{Y_f(z)}{F(z)}=\frac{B(z)}{A(z)}$
稱爲系統函數

$h(k) \longleftrightarrow H(z)$

例1：若某系統的差分方程爲

$y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)+2f(k-2)$

已知：$y(-1)=2,y(-2)=-1/2,f(k)=\epsilon(k)$。

求系統的 $y_x(k)、y_f(k)、y(k)$

解：方程取單邊 z 變換
$Y(z)-[z^{-1}Y(z)+y(-1)]-2[z^{-2}Y(z)+y(-2)+z^{-1}y(-1)]=F(z)+2z^{-2}F(z)$
$Y(z)=\frac{(1+2z^{-1})y(-1)+2y(-2)}{1-z^{-1}-2z^{-2}}+\frac{1+2z^{-2}}{1-z^{-1}-2z^{-2}}F(z)=\frac{z^2+4z}{z^2-z-2}+\frac{z^2+2}{z^2-z-2}\frac{z}{z-1}$
$Y_x(z)=\frac{z^2+4z}{z^2-z-2}=\frac{2z}{z-2}+\frac{-z}{z+1}$
$\longrightarrow y_x(k)=[2(2)^k-(-1)^k]\epsilon(k)$
$Y_y(z)=\frac{2z}{z-2}+\frac12\frac{ z}{z+1}-\frac32\frac{ z}{z-1}$
$\longrightarrow y_f(k)=[2^{k+1}+\frac12(-1)^k-\frac32]\epsilon(k)$
$y(k)=y_x(k)+y_f(k)$

二、系統的 z 域框圖

例：

三、利用 z 變換求卷積和

例：求 $2^k\epsilon(k)*[2^{-k}\epsilon(k)]$

解：$2^k\epsilon(k)\longleftrightarrow \frac{z}{z-0.5},|z|>0.5$
$2^{-k}\epsilon(k) \longleftrightarrow \frac{z^{-1}}{z^{-1}-0.5}=\frac{-2}{z-2},|z|<2$
原式的象函數爲：
$\frac{-2z}{(z-0.5)(z-2)}=\frac{\frac43z}{z-0.5}+\frac{-\frac43z}{z-2}$
$\longrightarrow 原式= \frac43(0.5)^k\epsilon(k)+\frac43(2)^k\epsilon(-k-1)$

總結

最後一遍筆記，收官，殺青啦！！！

聯繫之前的 頻域分析 和 複頻域分析，z 域分析 與之相似，但是也要注意區別。

如有錯誤，還請批評指正！ 🤝 🤝 🤝

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