Author：AXYZdong
以下內容是關於連續系統的時域分析 ，重點難點，考試常考，考前複習。
描述線性時不變（LTI）系統的輸入–輸出特性的是常係數線性微分方程
時域分析方法：從系統的模型（微分方程）出發，在時域研究輸入信號通過系統響應後的變化規律，是研究系統時域特性的重要方法。
對於電系統，建立其微分方程的依據：K C L : ∑ i ( t ) = 0 K V L : ∑ u ( t ) = 0 V C R : U R ( t ) = R ⋅ i ( t ) , u L ( t ) = L ⋅ d i ( t ) d t , i C ( t ) = C ⋅ d u ( t ) d t
KCL:\sum i(t)=0\\
KVL: \sum u(t)=0\\
VCR:U_R(t)=R \cdot i(t),u_L(t)=L\cdot \frac{di(t)}{dt},i_C(t)=C \cdot \frac{du(t)}{dt}
K C L : ∑ i ( t ) = 0 K V L : ∑ u ( t ) = 0 V C R : U R ( t ) = R ⋅ i ( t ) , u L ( t ) = L ⋅ d t d i ( t ) , i C ( t ) = C ⋅ d t d u ( t )
R C ⋅ d u C ( t ) d t + u C ( t ) = u S ( t ) 即 : u C ′ ( t ) + 1 R C ⋅ u C ( t ) = 1 R C ⋅ u S ( t )
RC \cdot \frac{du_C(t)}{dt} +u_C(t)=u_S(t)\\
即:u ' _C(t) + \frac{1}{RC} \cdot u_C(t) = \frac{1}{RC} \cdot u_S(t)
R C ⋅ d t d u C ( t ) + u C ( t ) = u S ( t ) 即 : u C ′ ( t ) + R C 1 ⋅ u C ( t ) = R C 1 ⋅ u S ( t ) L ⋅ d i L ( t ) R ⋅ d t + i L ( t ) = i S ( t ) 即 : i L ′ ( t ) + R L ⋅ i L ( t ) = R L ⋅ i S ( t )
\frac{L \cdot di_L(t)}{R \cdot dt} +i_L(t)=i_S(t)\\
即:i ' _L(t) + \frac{R}{L} \cdot i_L(t) = \frac{R}{L} \cdot i_S(t)
R ⋅ d t L ⋅ d i L ( t ) + i L ( t ) = i S ( t ) 即 : i L ′ ( t ) + L R ⋅ i L ( t ) = L R ⋅ i S ( t ) y ′ ( t ) + a y ( t ) = χ ( t ) y '(t)+ay(t)=\chi(t) y ′ ( t ) + a y ( t ) = χ ( t )
從觀察的初始時刻起不再施加輸入信號，僅由該時刻系統本身的起始儲能狀態引起的響應稱爲零輸入響應（ZIR）
當系統的儲能狀態爲零時，由外加激勵信號（輸入）產生的響應稱爲零狀態響應（ZSR）
對於一階系統方程y ′ ( t ) + a y ( t ) = χ ( t )
y '(t)+ay(t)=\chi(t)
y ′ ( t ) + a y ( t ) = χ ( t ) y Z S ( t ) = e − a t ∫ 0 − t χ ( t ) e a τ d τ , ( t ≥ 0 )
y_{ZS}(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t \chi(t) e^{a \tau} d \tau,(t \geq0)
y Z S ( t ) = e − a t ∫ 0 − t χ ( t ) e a τ d τ , ( t ≥ 0 )
y ( t ) = y Z I ( t ) + y Z S ( t ) , [ 全 響 應 = 零 輸 入 + 零 狀 態 ]
y(t)=y_{ZI}(t)+y_{ZS}(t),[全響應=零輸入+零狀態]
y ( t ) = y Z I ( t ) + y Z S ( t ) , [ 全 響 應 = 零 輸 入 + 零 狀 態 ]
y ′ ′ ( t ) + 6 y ′ ( t ) + 8 y ( t ) = f ( t ) , t > 0 y ''(t) + 6y '(t) + 8y(t) =f(t),t>0 y ′ ′ ( t ) + 6 y ′ ( t ) + 8 y ( t ) = f ( t ) , t > 0 已知某二階限行連續時間系統的動態方程：y ′ ′ ( t ) + 6 y ′ ( t ) + 8 y ( t ) = f ( t ) , t > 0 初 始 條 件 ： y ( 0 − ) = 1 , y ′ ( 0 − ) = 2 , 求 系 統 的 零 輸 入 響 應
y''(t) + 6y'(t) + 8y(t) =f(t),t>0\\
初始條件：y({0_-})=1,y' ({0_-})=2,求系統的零輸入響應
y ′ ′ ( t ) + 6 y ′ ( t ) + 8 y ( t ) = f ( t ) , t > 0 初 始 條 件 ： y ( 0 − ) = 1 , y ′ ( 0 − ) = 2 , 求 系 統 的 零 輸 入 響 應
系 統 的 特 徵 方 程 ： s 2 + 6 s + 8 = 0 , 特 徵 根 ： s 1 = − 2 ， s 2 = − 4 故 系 統 的 零 輸 入 響 應 ： y X ( t ) = k 1 e − 2 t + k 2 e − 4 t , t > 0 y X ( 0 + ) = y X ( 0 − ) = y X ( 0 ) = k 1 + k 2 = 1 y ′ ( 0 ) = y X ′ ( 0 − ) = − 2 k 1 − 4 k 2 = 2 y X ( 0 ) 和 y ′ ( 0 ) 代 入 可 解 出 ： k 1 = 3 ， k 2 = − 2 系統的特徵方程：s^2+6s+8=0,特徵根：s_1=-2，s_2=-4 \\
故系統的零輸入響應：y_X(t)=k_1e^{-2t} + k_2e^{-4t},t>0 \\
y_X({0_+})=y_X({0_-}) = y_X({0}) = k_1+k_2=1\\
y'(0)=y_X'({0_-}) = -2k_1-4k_2=2\\
y_X({0})和y'(0)代入 可解出：k_1=3，k_2=-2 系 統 的 特 徵 方 程 ： s 2 + 6 s + 8 = 0 , 特 徵 根 ： s 1 = − 2 ， s 2 = − 4 故 系 統 的 零 輸 入 響 應 ： y X ( t ) = k 1 e − 2 t + k 2 e − 4 t , t > 0 y X ( 0 + ) = y X ( 0 − ) = y X ( 0 ) = k 1 + k 2 = 1 y ′ ( 0 ) = y X ′ ( 0 − ) = − 2 k 1 − 4 k 2 = 2 y X ( 0 ) 和 y ′ ( 0 ) 代 入 可 解 出 ： k 1 = 3 ， k 2 = − 2
可得零輸入響應：y X ( t ) = 3 e − 2 t − 2 e − 4 t , t ≥ 0 y_X(t)=3e^{-2t}-2e^{-4t},t \ge0 y X ( t ) = 3 e − 2 t − 2 e − 4 t , t ≥ 0
y ′ ′ ( t ) + 3 y ′ ( t ) + 2 y ( t ) = 2 f ′ ( t ) + 6 f ( t ) , t > 0 y ''(t) + 3y'(t) + 2y(t) =2f'(t)+6f(t),t>0 y ′ ′ ( t ) + 3 y ′ ( t ) + 2 y ( t ) = 2 f ′ ( t ) + 6 f ( t ) , t > 0 y ′ ′ ( t ) + 3 y ′ ( t ) + 2 y ( t ) = 2 f ′ ( t ) + 6 f ( t ) , t > 0 初 始 條 件 ： y ( 0 − ) = 2 , y ′ ( 0 − ) = 0 , f ( t ) = ϵ ( t ) , 求 系 統 的 零 輸 入 響 應 和 零 狀 態 響 應
y ''(t) + 3y'(t) + 2y(t) =2f'(t)+6f(t),t>0\\
初始條件：y({0_-})=2,y \prime ({0_-})=0,f(t)= \epsilon(t), \\
求系統的零輸入響應和零狀態響應\\
y ′ ′ ( t ) + 3 y ′ ( t ) + 2 y ( t ) = 2 f ′ ( t ) + 6 f ( t ) , t > 0 初 始 條 件 ： y ( 0 − ) = 2 , y ′ ( 0 − ) = 0 , f ( t ) = ϵ ( t ) , 求 系 統 的 零 輸 入 響 應 和 零 狀 態 響 應 ( 1 ) 零 輸 入 響 應 y X ( t ) 激 勵 爲 0 ， 故 y X ( t ) 滿 足 (1)零輸入響應y_X(t)激勵爲0，故y_X(t)滿足 ( 1 ) 零 輸 入 響 應 y X ( t ) 激 勵 爲 0 ， 故 y X ( t ) 滿 足
y X ′ ′ ( t ) + 3 y X ′ ( t ) + 2 y X ( t ) = 0 系 統 的 特 徵 方 程 ： s 2 + 3 s + 2 = 0 , 特 徵 根 ： s 1 = − 2 ， s 2 = − 1 故 系 統 的 零 輸 入 響 應 ： y X ( t ) = k 1 e − 2 t + k 2 e − t , t > 0 y X ( 0 + ) = y X ( 0 − ) = y X ( 0 ) = 2 y ′ ( 0 ) = y X ′ ( 0 − ) = 0 y X ( 0 ) 和 y ′ ( 0 ) 代 入 可 解 出 ： k 1 = 4 ， k 2 = − 2 y _X''(t) + 3y_X'(t) + 2y_X(t) =0\\
系統的特徵方程：s^2+3s+2=0,特徵根：s_1=-2，s_2=-1 \\
故系統的零輸入響應：y_X(t)=k_1e^{-2t} + k_2e^{-t},t>0 \\
y_X({0_+})=y_X({0_-}) = y_X({0}) =2\\
y'(0)=y_X'({0_-}) = 0\\
y_X({0})和y'(0)代入 可解出：k_1=4，k_2=-2 y X ′ ′ ( t ) + 3 y X ′ ( t ) + 2 y X ( t ) = 0 系 統 的 特 徵 方 程 ： s 2 + 3 s + 2 = 0 , 特 徵 根 ： s 1 = − 2 ， s 2 = − 1 故 系 統 的 零 輸 入 響 應 ： y X ( t ) = k 1 e − 2 t + k 2 e − t , t > 0 y X ( 0 + ) = y X ( 0 − ) = y X ( 0 ) = 2 y ′ ( 0 ) = y X ′ ( 0 − ) = 0 y X ( 0 ) 和 y ′ ( 0 ) 代 入 可 解 出 ： k 1 = 4 ， k 2 = − 2
可得零輸入響應：y X ( t ) = 4 e − t − 2 e − 2 t , t > 0 y_X(t)=4e^{-t}-2e^{-2t},t >0 y X ( t ) = 4 e − t − 2 e − 2 t , t > 0
( 2 ) 零 狀 態 響 應 y f ( t ) 滿 足 (2)零狀態響應y_f(t)滿足 ( 2 ) 零 狀 態 響 應 y f ( t ) 滿 足 y f ′ ′ ( t ) + 3 y f ′ ( t ) + 2 y f ( t ) = 2 δ ( t ) + 6 ϵ ( t ) , 並 有 y f ( 0 − ) = y f ( 0 + ) = 0
y _f''(t) + 3y_f'(t) + 2y_f(t) =2 \delta (t)+6 \epsilon(t),並有y_f({0_-}) = y_f({0_+}) = 0\\
y f ′ ′ ( t ) + 3 y f ′ ( t ) + 2 y f ( t ) = 2 δ ( t ) + 6 ϵ ( t ) , 並 有 y f ( 0 − ) = y f ( 0 + ) = 0 由 於 上 式 等 號 右 端 含 有 δ ( t ) , 故 y f ′ ′ ( t ) 含 有 δ ( t ) ， 從 而 y f ′ ( t ) 躍 變 , 即 y f ′ ( 0 + ) ≠ y f ′ ( 0 − ) 而 y f ( t ) 在 t = 0 處 連 續 ， 即 y f ( 0 − ) = y f ( 0 + ) = 0 ， 上 式 兩 邊 積 分 有 ： [ y f ′ ( 0 + ) − y f ′ ( 0 − ) ] + 3 [ y f ( 0 − ) − y f ( 0 + ) ] + 2 ∫ 0 − 0 + y f ( t ) d t = 2 + 6 ∫ 0 − 0 + ϵ ( t ) d t 由於上式等號右端含有 \delta(t) , 故y _f''(t)含有 \delta(t)，從而y_f'(t)躍變 ,即y'_f({0_+}) \neq y'_f({0_-})\\
而y_f(t) 在t=0處連續，即y_f({0_-}) = y_f({0_+})=0，上式兩邊積分有：\\
[y'_f({0_+}) - y'_f({0_-})]+3[y_f({0_-}) -y_f({0_+})]+2\int_{0-}^{0+}y_f(t) dt=2+6\int_{0-}^{0+} \epsilon(t)dt 由 於 上 式 等 號 右 端 含 有 δ ( t ) , 故 y f ′ ′ ( t ) 含 有 δ ( t ) ， 從 而 y f ′ ( t ) 躍 變 , 即 y f ′ ( 0 + ) = y f ′ ( 0 − ) 而 y f ( t ) 在 t = 0 處 連 續 ， 即 y f ( 0 − ) = y f ( 0 + ) = 0 ， 上 式 兩 邊 積 分 有 ： [ y f ′ ( 0 + ) − y f ′ ( 0 − ) ] + 3 [ y f ( 0 − ) − y f ( 0 + ) ] + 2 ∫ 0 − 0 + y f ( t ) d t = 2 + 6 ∫ 0 − 0 + ϵ ( t ) d t
整理得：y f ′ ( 0 + ) = 2 + y f ′ ( 0 − ) = 2 y'_f({0_+}) =2+ y'_f({0_-})=2 y f ′ ( 0 + ) = 2 + y f ′ ( 0 − ) = 2
對t > 0 t>0 t > 0 y f ′ ′ ( t ) + 3 y f ′ ( t ) + 2 y f ( t ) = 6 y _f''(t) + 3y_f'(t) + 2y_f(t) =6 y f ′ ′ ( t ) + 3 y f ′ ( t ) + 2 y f ( t ) = 6
不難求出其齊次解爲：C f 1 e − t + C f 2 e − 2 t , C_{f1}e^{-t}+C_{f2}e^{-2t}, C f 1 e − t + C f 2 e − 2 t , 3 3 3
∴ y f ( t ) = C f 1 e − t + C f 2 e − 2 t + 3 \therefore y_f(t)=C_{f1}e^{-t}+C_{f2}e^{-2t}+3 ∴ y f ( t ) = C f 1 e − t + C f 2 e − 2 t + 3
代入初值求得：y f ( t ) = − 4 e − t + e − 2 t + 3 , t ≥ 0 y_f(t)=-4e^{-t}+e^{-2t}+3,t \geq0 y f ( t ) = − 4 e − t + e − 2 t + 3 , t ≥ 0
分類標準
對應響應
響應的不同起因
儲能響應、受激響應
系統的性質和輸入信號的性質
自由響應（取決於系統性質，即特徵根）、強迫響應（取決於輸入信號的形式）
響應的變化形式
瞬態響應（t無限增大，響應趨於零）、穩態響應（響應恆定或爲某個穩態函數）
LTI系統在零狀態下，由單位階躍信號引起的響應稱爲單位階躍響應，簡稱階躍響應，記爲s ( t ) s(t) s ( t )
對於一階系統方程y ′ ( t ) + a y ( t ) = b ϵ ( t )
y '(t)+ay(t)=b\epsilon(t)
y ′ ( t ) + a y ( t ) = b ϵ ( t ) y Z S ( t ) = e − a t ∫ 0 − t χ ( t ) e a τ d τ , ( t ≥ 0 )
y_{ZS}(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t \chi(t) e^{a \tau} d \tau,(t \geq0)
y Z S ( t ) = e − a t ∫ 0 − t χ ( t ) e a τ d τ , ( t ≥ 0 ) y ( t ) = s ( t ) = e − a t ∫ 0 − t b ϵ ( t ) e a τ d τ = b a ⋅ ( 1 − e − a t ) , ( t ≥ 0 )
y (t)=s(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t b\epsilon(t) e^{a \tau} d \tau = \frac {b}{a} \cdot(1-e^{-at}),(t \geq0)
y ( t ) = s ( t ) = e − a t ∫ 0 − t b ϵ ( t ) e a τ d τ = a b ⋅ ( 1 − e − a t ) , ( t ≥ 0 )
儲能狀態爲零的系統，在單位衝激信號作用下產生的零狀態響應稱爲衝激響應，記爲h ( t ) h(t) h ( t )
對於一階系統方程y ′ ( t ) + a y ( t ) = b δ ( t )
y '(t)+ay(t)=b\delta(t)
y ′ ( t ) + a y ( t ) = b δ ( t ) y ( t ) = h ( t ) = e − a t ∫ 0 − t b δ ( t ) e a τ d τ = b ⋅ e − a t ⋅ ϵ ( t )
y (t)=h(t)=\rm e^{-at} \int_{0-}^t b\delta(t) e^{a \tau} d \tau = b \cdot e^{-at} \cdot \epsilon(t)
y ( t ) = h ( t ) = e − a t ∫ 0 − t b δ ( t ) e a τ d τ = b ⋅ e − a t ⋅ ϵ ( t )
y ′ ′ ( t ) + 5 y ′ ( t ) + 6 y ( t ) = f ( t ) y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t) y ′ ′ ( t ) + 5 y ′ ( t ) + 6 y ( t ) = f ( t ) 描述某系統的微分方程爲y ′ ′ ( t ) + 5 y ′ ( t ) + 6 y ( t ) = f ( t ) y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t) y ′ ′ ( t ) + 5 y ′ ( t ) + 6 y ( t ) = f ( t ) h ( t ) h(t) h ( t )
解：根據h ( t ) h(t) h ( t ) h ′ ′ ( t ) + 5 h ′ ( t ) + 6 h ( t ) = δ ( t ) , 並 且 有 h ′ ( 0 − ) = h ( 0 − ) = 0 ， 先 求 h ′ ( 0 + ) 和 h ( 0 + ) h''(t)+5h'(t)+6h(t)= \delta(t),\\
並且有 h'({0_-}) = h({0_-}) = 0，先求h'({0_+}) 和 h({0_+}) h ′ ′ ( t ) + 5 h ′ ( t ) + 6 h ( t ) = δ ( t ) , 並 且 有 h ′ ( 0 − ) = h ( 0 − ) = 0 ， 先 求 h ′ ( 0 + ) 和 h ( 0 + )
由 於 上 式 等 號 右 端 含 有 δ ( t ) , 故 h ′ ′ ( t ) 含 有 δ ( t ) ， 從 而 h ′ ( t ) 躍 變 , 即 h ′ ( 0 + ) ≠ h ′ ( 0 − ) 而 h ( t ) 在 t = 0 處 連 續 ， 即 h ( 0 − ) = h ( 0 + ) = 0 ， 上 式 兩 邊 積 分 有 ： [ h ′ ( 0 + ) − h ′ ( 0 − ) ] + 5 [ h ( 0 − ) − h ( 0 + ) ] + 6 ∫ 0 − 0 + h ( t ) d t = 1 由於上式等號右端含有 \delta(t) , 故h''(t)含有 \delta(t)，從而h'(t)躍變 ,即h' ({0_+}) \neq h'({0_-})\\
而h(t) 在t=0處連續，即h({0_-}) = h({0_+})=0，上式兩邊積分有：\\
[h'({0_+}) - h'({0_-})]+5[h({0_-}) -h({0_+})]+6\int_{0-}^{0+}h(t) dt=1 由 於 上 式 等 號 右 端 含 有 δ ( t ) , 故 h ′ ′ ( t ) 含 有 δ ( t ) ， 從 而 h ′ ( t ) 躍 變 , 即 h ′ ( 0 + ) = h ′ ( 0 − ) 而 h ( t ) 在 t = 0 處 連 續 ， 即 h ( 0 − ) = h ( 0 + ) = 0 ， 上 式 兩 邊 積 分 有 ： [ h ′ ( 0 + ) − h ′ ( 0 − ) ] + 5 [ h ( 0 − ) − h ( 0 + ) ] + 6 ∫ 0 − 0 + h ( t ) d t = 1
整理得：h ′ ( 0 + ) = 1 + h ′ ( 0 − ) = 1 h'({0_+}) =1+ h'({0_-})=1 h ′ ( 0 + ) = 1 + h ′ ( 0 − ) = 1
對t > 0 t>0 t > 0 h ′ ′ ( t ) + 5 h ′ ( t ) + 6 h ( t ) = 0 h''(t)+5h'(t)+6h(t)=0 h ′ ′ ( t ) + 5 h ′ ( t ) + 6 h ( t ) = 0
不難求出其齊次解爲：C 1 e − 2 t + C 2 e − 3 t , C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t}, C 1 e − 2 t + C 2 e − 3 t ,
∴ h ( t ) = ( C 1 e − 2 t + C 2 e − 3 t ) ⋅ ϵ ( t ) \therefore h(t)=(C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t}) \cdot \epsilon(t) ∴ h ( t ) = ( C 1 e − 2 t + C 2 e − 3 t ) ⋅ ϵ ( t )
代入初值求得：h ( t ) = ( e − 2 t − e − 3 t ) ⋅ ϵ ( t ) h(t)=(e^{-2t}-e^{-3t}) \cdot \epsilon(t) h ( t ) = ( e − 2 t − e − 3 t ) ⋅ ϵ ( t )
y ′ ′ ( t ) + 5 y ′ ( t ) + 6 y ( t ) = f ′ ′ ( t ) + 2 f ′ ( t ) + 3 f ( t ) y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f''(t)+2f'(t)+3f(t) y ′ ′ ( t ) + 5 y ′ ( t ) + 6 y ( t ) = f ′ ′ ( t ) + 2 f ′ ( t ) + 3 f ( t ) 描述某系統的微分方程爲y ′ ′ ( t ) + 5 y ′ ( t ) + 6 y ( t ) = f ′ ′ ( t ) + 2 f ′ ( t ) + 3 f ( t ) y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f''(t)+2f'(t)+3f(t) y ′ ′ ( t ) + 5 y ′ ( t ) + 6 y ( t ) = f ′ ′ ( t ) + 2 f ′ ( t ) + 3 f ( t ) h ( t ) h(t) h ( t )
解：根據h ( t ) h(t) h ( t ) h ′ ′ ( t ) + 5 h ′ ( t ) + 6 h ( t ) = δ ′ ′ ( t ) + 2 δ ′ ( t ) + 3 δ ( t ) (1) h''(t)+5h'(t)+6h(t)=\delta''(t) + 2\delta'(t) +3\delta(t) \\
\tag{1}
h ′ ′ ( t ) + 5 h ′ ( t ) + 6 h ( t ) = δ ′ ′ ( t ) + 2 δ ′ ( t ) + 3 δ ( t ) ( 1 ) 並 且 有 h ′ ( 0 − ) = h ( 0 − ) = 0 ， 先 求 h ′ ( 0 + ) 和 h ( 0 + ) 並且有 h'({0_-}) = h({0_-}) = 0，先求h'({0_+}) 和 h({0_+}) 並 且 有 h ′ ( 0 − ) = h ( 0 − ) = 0 ， 先 求 h ′ ( 0 + ) 和 h ( 0 + ) h ( t ) h(t) h ( t ) δ ( t ) \delta(t) δ ( t ) { h ( t ) = a δ ( t ) + P 1 ( t ) , [ P i ( t ) 中 爲 不 含 有 δ ( t 的 函 數 ) ] h ′ ( t ) = a δ ′ ( t ) + b δ ( t ) + P 2 ( t ) h ′ ′ ( t ) = a δ ′ ′ ( t ) + b δ ′ ( t ) + c δ ( t ) + P 3 ( t ) \begin{cases}
h(t)=a \delta(t) +P_1(t) , [P_i(t)中爲不含有\delta(t的函數) ]\\
h'(t)=a \delta'(t) + b \delta(t) + P_2(t)\\
h''(t)=a \delta''(t) + b \delta'(t) + c \delta(t) + P_3(t)\\
\end{cases} ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ h ( t ) = a δ ( t ) + P 1 ( t ) , [ P i ( t ) 中 爲 不 含 有 δ ( t 的 函 數 ) ] h ′ ( t ) = a δ ′ ( t ) + b δ ( t ) + P 2 ( t ) h ′ ′ ( t ) = a δ ′ ′ ( t ) + b δ ′ ( t ) + c δ ( t ) + P 3 ( t ) a δ ′ ′ ( t ) + ( b + 5 a ) δ ′ ( t ) + ( 6 a + 5 b + c ) δ ( t ) + P 1 ( t ) + P 2 ( t ) + P 3 ( t ) = δ ′ ′ ( t ) + 2 δ ′ ( t ) + 3 δ ( t )
a \delta''(t) + (b+5a) \delta'(t) + (6a+5b+c) \delta(t) + P_1(t)+P_2(t)+ P_3(t)=\delta''(t) + 2\delta'(t) +3\delta(t)
a δ ′ ′ ( t ) + ( b + 5 a ) δ ′ ( t ) + ( 6 a + 5 b + c ) δ ( t ) + P 1 ( t ) + P 2 ( t ) + P 3 ( t ) = δ ′ ′ ( t ) + 2 δ ′ ( t ) + 3 δ ( t ) δ ( t ) \delta(t) δ ( t ) a = 1 , b = − 3 , c = 12 a=1,b=-3,c=12 a = 1 , b = − 3 , c = 1 2 h ( t ) = δ ( t ) + P 1 ( t ) (2) h(t)= \delta(t) +P_1(t)
\tag{2} h ( t ) = δ ( t ) + P 1 ( t ) ( 2 ) h ′ ( t ) = δ ′ ( t ) − 3 δ ( t ) + P 2 ( t ) (3) h'(t)= \delta'(t) -3 \delta(t) + P_2(t)
\tag{3}
h ′ ( t ) = δ ′ ( t ) − 3 δ ( t ) + P 2 ( t ) ( 3 ) h ′ ′ ( t ) = δ ′ ′ ( t ) − 3 δ ′ ( t ) + 12 δ ( t ) + P 3 ( t ) (4) h''(t)= \delta''(t) -3 \delta'(t) + 12 \delta(t) + P_3(t)
\tag{4} h ′ ′ ( t ) = δ ′ ′ ( t ) − 3 δ ′ ( t ) + 1 2 δ ( t ) + P 3 ( t ) ( 4 ) 對 式 （ 3 ） 從 0 − 到 0 + 積 分 h ( 0 + ) − h ( 0 − ) = − 3 對 式 （ 4 ） 從 0 − 到 0 + 積 分 h ′ ( 0 + ) − h ′ ( 0 − ) = 12 對式（3）從0_{-}到0_{+}積分h(0_{+})-h(0_{-})=-3 \\ 對式（4）從0_{-}到0_{+}積分h'(0_{+})-h'(0_{-})=12 對 式 （ 3 ） 從 0 − 到 0 + 積 分 h ( 0 + ) − h ( 0 − ) = − 3 對 式 （ 4 ） 從 0 − 到 0 + 積 分 h ′ ( 0 + ) − h ′ ( 0 − ) = 1 2
對t > 0 t>0 t > 0 h ′ ′ ( t ) + 5 h ′ ( t ) + 6 h ( t ) = 0 , 特 徵 根 − 2 ， − 3 h''(t)+5h'(t)+6h(t)=0,特徵根-2，-3 h ′ ′ ( t ) + 5 h ′ ( t ) + 6 h ( t ) = 0 , 特 徵 根 − 2 ， − 3
不難求出其齊次解爲：C 1 e − 2 t + C 2 e − 3 t , C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t}, C 1 e − 2 t + C 2 e − 3 t ,
∴ h ( t ) = ( C 1 e − 2 t + C 2 e − 3 t ) ⋅ ϵ ( t ) \therefore h(t)=(C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t}) \cdot \epsilon(t) ∴ h ( t ) = ( C 1 e − 2 t + C 2 e − 3 t ) ⋅ ϵ ( t )
代入初始條件h ( 0 + ) = − 3 , h ′ ( 0 + ) = 12 h(0_{+})=-3,h'(0_{+}) =12 h ( 0 + ) = − 3 , h ′ ( 0 + ) = 1 2 h ( t ) = ( 3 e − 2 t − 6 e − 3 t ) ⋅ ϵ ( t ) h(t)=(3e^{-2t}-6e^{-3t}) \cdot \epsilon(t) h ( t ) = ( 3 e − 2 t − 6 e − 3 t ) ⋅ ϵ ( t )
結 合 式 （ 2 ） ， h ( t ) = δ ( t ) + ( 3 e − 2 t − 6 e − 3 t ) ⋅ ϵ ( t ) 結合式（2），h(t)= \delta(t)+(3e^{-2t}-6e^{-3t}) \cdot \epsilon(t) 結 合 式 （ 2 ） ， h ( t ) = δ ( t ) + ( 3 e − 2 t − 6 e − 3 t ) ⋅ ϵ ( t )
{ h ( t ) = d s ( t ) d t s ( t ) = ∫ − ∞ t h ( τ ) d τ
\begin{cases}
h(t)= \frac{ds(t)}{dt}\\
\\
s(t)= \int _{-\infty}^{t}h( \tau ) d \tau
\end{cases}
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ h ( t ) = d t d s ( t ) s ( t ) = ∫ − ∞ t h ( τ ) d τ
“ 0 " “0" “ 0 " f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) Δ \Delta Δ p ( t ) p(t) p ( t ) f ( 0 ) Δ p ( t ) f(0) \Delta p(t) f ( 0 ) Δ p ( t )
“ 1 " “1" “ 1 " f ( Δ ) f(\Delta) f ( Δ ) Δ \Delta Δ p ( t − Δ ) p(t-\Delta) p ( t − Δ ) f ( Δ ) Δ p ( t − Δ ) f(\Delta) \Delta p(t-\Delta) f ( Δ ) Δ p ( t − Δ )
“ − 1 " “-1" “ − 1 " f ( − Δ ) f(-\Delta) f ( − Δ ) Δ \Delta Δ p ( t + Δ ) p(t+\Delta) p ( t + Δ ) f ( − Δ ) Δ p ( t + Δ ) f(-\Delta) \Delta p(t+\Delta) f ( − Δ ) Δ p ( t + Δ )
f ( t ) ^ = ∑ n = − ∞ ∞ f ( n Δ ) Δ p ( t − n Δ ) \hat {f(t)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n\Delta) \Delta p(t-n\Delta) f ( t ) ^ = ∑ n = − ∞ ∞ f ( n Δ ) Δ p ( t − n Δ )
lim Δ → 0 f ( t ) ^ = f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) δ ( t − τ ) d τ
\lim_{\Delta \to 0} \hat{f(t)} =f(t) = \int _{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t- \tau) d \tau
Δ → 0 lim f ( t ) ^ = f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) δ ( t − τ ) d τ
h ( t ) h(t) h ( t ) δ ( t ) ⟹ h ( t )
\delta(t) \implies h(t)
δ ( t ) ⟹ h ( t ) δ ( t − τ ) ⟹ h ( t − τ )
\delta(t - \tau) \implies h(t - \tau)
δ ( t − τ ) ⟹ h ( t − τ ) f ( τ ) δ ( t − τ ) ⟹ f ( τ ) h ( t − τ )
f(\tau) \delta(t - \tau) \implies f(\tau) h (t - \tau)
f ( τ ) δ ( t − τ ) ⟹ f ( τ ) h ( t − τ ) ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) δ ( t − τ ) d τ ⟹ ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) h ( t − τ ) d τ
\int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) \delta(t - \tau) d\tau \implies \int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) h (t - \tau) d\tau
∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) δ ( t − τ ) d τ ⟹ ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) h ( t − τ ) d τ y f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) h ( t − τ ) d τ , 卷 積 積 分
y_f(t)=\int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) h(t - \tau) d\tau ,卷積積分
y f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) h ( t − τ ) d τ , 卷 積 積 分
已知定義在區間( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) ( − ∞ , + ∞ ) f 1 ( t ) f_1(t) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f_2(t) f 2 ( t ) f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ f(t)=\int_{- \infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t - \tau) d\tau f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ f 1 ( t ) f_1(t) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f_2(t) f 2 ( t ) f ( t ) = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t )
f(t)=f_1(t) *f_2(t)
f ( t ) = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) 溫馨提醒：τ \tau τ t t t y f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) h ( t − τ ) d τ = f 1 ( t ) ∗ h ( t )
y_f(t)=\int_{- \infty}^{+\infty} f(\tau) h(t - \tau) d\tau =f_1(t) *h(t)
y f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) h ( t − τ ) d τ = f 1 ( t ) ∗ h ( t )
f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ
f_1(t) *f_2(t) = \int_{- \infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t - \tau) d\tau
f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ t 換 爲 τ → f 1 ( τ ) , f 2 ( τ ) t 換爲 \tau \to f_1(\tau), f_2(\tau) t 換 爲 τ → f 1 ( τ ) , f 2 ( τ )
（2）反轉平移（摺疊平移）：f 2 ( τ ) 反 轉 → f 2 ( − τ ) , 再 右 移 t → f 2 ( − ( τ − t ) ) = f 2 ( t − τ ) f_2(\tau)反轉\to f_2(-\tau),再右移t\to f_2(-(\tau -t))=f_2(t- \tau) f 2 ( τ ) 反 轉 → f 2 ( − τ ) , 再 右 移 t → f 2 ( − ( τ − t ) ) = f 2 ( t − τ ) 【左加右減在τ \tau τ
（3）乘積：f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) f_1(\tau) f_2(t - \tau) f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ )
（4）積分：τ \tau τ − ∞ -\infty − ∞ + ∞ +\infty + ∞
1、f ( t ) ∗ δ ( t ) = δ ( t ) ∗ f ( t ) = f ( t ) f(t)*\delta(t) = \delta(t)* f(t) = f(t) f ( t ) ∗ δ ( t ) = δ ( t ) ∗ f ( t ) = f ( t )
2、f ( t ) ∗ δ ′ ( t ) = f ′ ( t ) , f ( t ) ∗ δ ( n ) ( t ) = f ( n ) ( t ) f(t)* \delta'(t) = f'(t) , f(t)* \delta^{(n)}(t) = f^{(n)}(t) f ( t ) ∗ δ ′ ( t ) = f ′ ( t ) , f ( t ) ∗ δ ( n ) ( t ) = f ( n ) ( t )
3、f ( t ) ∗ ϵ ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) ϵ ( t − τ ) d τ = ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ f(t)*\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \epsilon(t- \tau)d\tau = \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau f ( t ) ∗ ϵ ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) ϵ ( t − τ ) d τ = ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ
ϵ ( t ) ∗ ϵ ( t ) = t ϵ ( t ) \epsilon(t)*\epsilon(t) = t\epsilon(t) ϵ ( t ) ∗ ϵ ( t ) = t ϵ ( t )
卷積的時移特性說白了就是：一個卷積積分，時間 t t t f ( t ) = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) , f(t)=f_1(t)*f_2(t), f ( t ) = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) , f 1 ( t − t 1 ) ∗ f 2 ( t − t 2 ) = f 1 ( t − t 1 − t 2 ) ∗ f 2 ( t ) = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t − t 1 − t 2 ) = f ( t − t 1 − t 2 ) f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2) \\
= f_1(t-t_1-t_2)*f_2(t)\\
= f_1(t)*f_2(t-t_1-t_2)\\
=f (t-t_1-t_2) f 1 ( t − t 1 ) ∗ f 2 ( t − t 2 ) = f 1 ( t − t 1 − t 2 ) ∗ f 2 ( t ) = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t − t 1 − t 2 ) = f ( t − t 1 − t 2 )
連續系統的時域分析，重點難點內容，多看、多做、多動手。
零輸入、零狀態、階躍、衝激
上一篇筆記承蒙各位小夥伴的厚愛，訪問量蹭蹭上漲，然而我不食言，繼續更，希望喜歡。寫錯 的地方，歡迎私信我不理解 的地方，歡迎私信我補充 的地方，歡迎私信我
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