【信號與系統】筆記（5-3）逆 z 變換

Author：AXYZdong
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前言

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概述

求逆 z 變換的方法有：

1、冪級數展開法

2、部分分數展開法

3、反演積分（留數法）

一般而言，雙邊序列可分解成因果序列 $f_1(k)$ 和反因果序列 $f_2(k)$ 兩部分，即：

$f(k)=f_1(k)+f_2(k)=f(k)\epsilon(k)+f(k)\epsilon(-k-1)$

對應的，其 z 變換也有兩個部分

$F(z)=F_1(z)+F_2(z),\alpha <|z|<\beta$

一、冪級數展開法

根據 z 變換的定義，因果序列和反因果序列的象函數分別是 $z ^{-1}和 z$ 的冪級數。其係數就是相應的序列值。

例：已知象函數
$F(z)=\frac{z^2}{(z+1)(z-2)}=\frac{z^2}{z^2-z-2}$
其收斂域如下，分別求相對應的原序列 $f(k)$。
（1）$|z|>2$
（2）$|z|<1$
（3）$1<|z|<2$

二、部分分數展開法

$F(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{b_mz^m+b_{m-1}z^{m-1}+...+b_1z+b_0}{z^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0},式中n\ge m$

1、$F(z)$ 均爲單極點，且不爲0

2、$F(z)$ 有共軛單極點

3、$F(z)$ 有重極點

總結

逆 z 變換和拉普拉斯逆變換求解方法很相似，但是也要注意區別，常用的 z 變換要熟記。

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