目錄
【1】前言
1、DIF計算量
更加清楚地瞭解計算步驟：
觀察可知：
1、一次複數乘法需用四次實數乘法和二次實數加法；
2、一次複數加法需二次實數加法
3、整個 DFT 運算總共需要 4N^2 次實數乘法和 2N*(2N—1)次實數加法。
總結：
直接計算 DFT,乘法次數和加法次數都是和 N^2 成正比的。
2、利用性質改善
利用這些性質，將較大的N分解爲若干個較小的N然後進行運算。
【2】公式推導
1、N 到 2*N/2
a、分解原序列
b、分解後的DFT變換
c、一系列化簡操作之後
d、蝶形信號流
以N=8的序列爲例：
e、計算量總結
因而通過第一步分解後， 總共需要（N^2/2)+(N/2)=N(N+l )/2約等於 N^2/2 次複數乘法和 N( N/2-1 )+N = N^2/2 次 複數加法。由此可見，通過這樣分解後的運算工作量差不多節省了一半。
2、N/2 到 2*N/4
a、分解X2(k)序列
b、蝶形信號流（2列）
3、N/4 到 2*N/8
a、蝶形信號流（3列）
【3】公式總結
由於乘法的運算量較大，我們從乘法角度來探討一下，DFT和FFT的運算量。
設N=2^M；有M列的蝶形信號運算。
從乘法角度：DFT需要N^2,FFT需要N*lbN;
當N=2048時，這一比值爲372.4,即直接計算DFT的運算量是FFT運算量的372.4倍。
當點數N越大時，FFT的優點更爲明顯。
【4】特點以及程序框架講解
1、原址運算
計算之後，將新的X(k)覆蓋原本的X(k)。
注意：是將同一行的X進行覆蓋（後面的列覆蓋前面的列），不同行之間是沒有覆蓋關係的。
所以，最後只需要N個存儲單元。（N個數據,N行）
2、倒位序規律
輸出X(k),序列正常。
輸入序列不正常。
原因：X(n)按照標號n的奇偶而不斷分組。
例子：
步驟流程：
I+1，最低位+1，向左進位。
J在二進制最高位+1，逢2向右進位。
由此可以從當前的倒序值計算求得下一個倒序值。
觀察變址處理，可以發現，只有當J>I時，纔將X(I)和X(J)存儲內容進行互換。
3、蝶形運算兩節點的距離
輸入爲倒位序，輸出爲正位序，N=2^ M,在第m級運算，兩個節點間的距離爲2^(m-1);
4、WN^r的確定
r的變換規律：
1、運算兩個節點中第一個節點標號爲k，表示爲M位的二進制數。
2、將此二進制數乘以2^(M-m)，相當於左移M-m位，把右邊空出，此數位r的二進制數。
5、程序框架
【5】代碼實現
沒有驗證代碼的正確性，只是按照上面的流程圖進行敘述。
#define PI 3.14159
//數位倒讀
int rev(int i, int m) {//i=0~2^m,m爲二進制位數
int j = 0;
while (m > 0) {
j += (i & 0x01) * (0x01 << (m - 1));//j+=(i%2)*mypow(2,m-1);
i >>= 1;//i/=2
m -= 1;
}
return j;
}
//快速傅里葉變換
//輸入x(n)、N
//輸出X(k)
void fft(const float real_in[], const float imag_in[], float real_out[], float imag_out[],int N)
{
//【1】獲取M
int M = log2(N);
//【2】倒序
for (int i = 0;i < N;i++)
{//數位倒讀
int j;
j = rev(i, M);
real_out[j] = real_in[i];
imag_out[j] = imag_in[i];
}
//【3】
for (int m = 1;m <= M;m++)
{
int B = 2 ^ m - 1;
for (int J = 0;J <= B - 1;J++)
{
int P = 2 ^ (M - m) * J;
for (int k = J;k <= N - 1;k++)
{
float tmpr1, tmpi1, tmpr2, tmpi2;//臨時變量
float theta = -2 * PI * P / N ;
tmpr1 = real_out[k];
tmpi1 = imag_out[k];
tmpr2 = cos(theta) * real_out[k + B] - sin(theta) * imag_out[k + B];
tmpi2 = cos(theta) * imag_out[k + B] + sin(theta) * real_out[k + B];
real_out[k] = tmpr1 + tmpr2;
imag_out[k] = tmpi1 + tmpi2;
real_out[k + B] = tmpr1 - tmpr2;
imag_out[k + B] = tmpi1 - tmpi2;
}
}
}
}
參考資料：
《數字信號處理第三版.劉順蘭版》