數字信號處理matlab訓練第【3】彈--求取離散系統的輸出

1.LSI系統的轉移函數

對於一個線性時不變離散時間系統（如下圖所示），我們在之前就已經接觸到了4種不同的描述方法。

1.1 頻率響應

$H(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{\infty}h(n)e^{-j\omega n}$

1.2 轉移函數

$H(z)=\sum_{n=0}^{\infty}h(n)z^{-n}$

1.3 差分方程

$y(n)=-\sum_{k=1}^Na(k)y(n-k)+\sum_{r=0}^Mb(r)x(n-r)$

1.4 卷積關係

$y(n)=x(n)*h(n)=\sum_{k=-\infty}^\infty x(k)h(n-k)$
上邊的4種方法從不同的角度描述了一個LSI系統的物理特性，他們之間有着密切的聯繫，其聯繫的紐帶就是系統的單位衝激響應$h(n)$

1.5 系統的轉移函數$H(Z)$

對上邊的第三式兩邊取Z變換，得
$Y(z)=-Y(z)\sum_{k=1}^Na(k)z^{-k}+X(z)\sum_{r=0}^Mb(r)z^{-r}\\ \quad \\Y(z)[1+\sum_{k=1}^Na(k)z^{-k}]=X(z)[b(0)+\sum_{r=1}^Mb(r)z^{-r}]$
對上邊的式子進行整理可得
$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{r=0}^Mb(r)z^{-r}}{1+\sum_{k=1}^Na(k)z^{-k}}$
上式$H(z)$就被稱爲系統的轉移函數。它即可以定義爲系統單位抽樣響應$h(n)$的z變換，也可以 定義爲系統的輸出、輸入Z變換之比。

2.matlab編程訓練，求系統的階躍響應

我們之前學過的，如果已經知道系統的$h(n)$,由於$y(n)=x(n)*h(n)$,則我們可以輕鬆的使用conv函數將其求得，但是如果我們不知道$h(n)$,已知$Y(z)$、$X(z)$,需要求$y(n)$，則我們可以根據公式，
$y(n)=-\sum_{k=1}^Na(k)y(n-k)+\sum_{r=0}^Mb(r)x(n-r)\\ \quad \\=b(1)x(n)+b(2)x(n-1)+...+b(n_b+1)x(n-n_b)\\ \quad \\-a(2)y(n-1)-...-a(n_a+1)y(n-n_a)$
求取我們的$y(n)$,使用matlab內的一個函數$y=filter(b,a,x)$其中$x、y、a和b$都是向量。

2.1 編程實訓

已知一個系統的轉移函數如下所示：
$H(z)=\frac{0.001836+0.007344z^{-1}+0.011016z^{-2}+0.007374z^{-3}+0.001836z^{-4}}{1-3.0544z^{-1}+3.8291z^{-2}-2.2925z^{-3}+0.55075z^{-4}}$
求該系統的階躍響應。

%%轉移函數
clc;
clear;
x=ones(100,1);
%定義階躍輸入
t=1:100;
b=[0.001836,0.007344,0.011016,0.007374,0.001836];
%定義向量b
a=[1,-3.0544,3.8291,-2.2925,0.55075];
%定義向量a
y=filter(b,a,x);
%得到y(n)
hold on
h1=plot(t,x,'b');
h2=plot(t,y,'r');
hold off
%畫圖結束
legend([h1,h2],'階躍輸入','階躍響應');
%添加標註

其運行結果爲：

2.2 求取系統的單位抽樣響應h(n)

在我們得到上邊的情況下，如果我們想要得到該系統的單位抽樣響應，編輯mtalab代碼如下：

[h,t]=impz(b,a,40);
%令h(n)的長度爲N=40
stem(t,h,'.');
%繪製離散的h(n)
grid on;

其顯示結果如下所示：

2.3 求上述系統的頻率響應

%%得到系統的頻率響應
[H,w]=freqz(b,a,256,'whole',1);
%whole 指定計算的頻率範圍是0-Fs,此處我們設置Fs=1
Hr=abs(H);
%得到絕對值，也就是幅度值
plot(w,Hr,'r','linewidth',2);
%繪製圖形，並且設置顏色和線寬
grid on;
%顯示方格
xlabel('\omega /2\pi');
ylabel('|H(e^{j\omega})|');
title('幅頻響應')
%座標軸設置

輸出圖像如下所示：

3.參考文章

數字信號處理理論、算法與實現（第三版）