設計巴特沃斯IIR濾波器可使用butter函數和buttord函數。
第一：使用buttord函數先求得最小階數和截止頻率：[n,Wn]= buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)。
理解：上式中n代表濾波器階數，Wn代表濾波器的截止頻率，這兩個參數可使用buttord函數來確定。簡單來說，就是在Wp處，通帶內波紋係數或者說是通帶內達到最大衰減爲Rp，如（3db）,而在Ws處，阻帶達到最小衰減爲Rs（如40db）,而我們默認求得的Wn是在(-3db)時的頻率。所以：When Rp is chosen as 3 dB, the Wn in BUTTER is equal to Wp in BUTTORD.
1、buttord
函數含義：設計巴特沃思濾波器（階數和截止頻率等參數要確定）
函數使用形式： [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')
[n，Wn] = buttord（Wp，Ws，Rp，Rs）返回數字巴特沃思濾波器的最低階n，通帶紋波不超過Rp dB，阻帶衰減至少Rs dB。
Wp和Ws分別是濾波器的通帶和阻帶邊沿頻率，歸一化爲0到1，其中1對應於πrad / sample。
還返回相應的截止頻率Wn的標量（或矢量）。
要設計巴特沃斯濾波器，請使用輸出參數n和Wn作爲butter的輸入。
[n，Wn] = buttord（Wp，Ws，Rp，Rs，'s'）查找模擬巴特沃思濾波器的最小階數n和截止頻率Wn。 以弧度每秒爲單位指定頻 率 Wp和Ws。 通帶或阻帶可以是無限的。
（1）n —最低濾波器階數
整數標
最低的濾波器階數，以整數標量返回。
（2） Wn-截止頻率
標量| 向量
截止頻率，以標量或矢量形式返回。
（3） Wp —通帶截止頻率
標量| 二元向量
通帶截止頻率，指定爲標量或二元向量，值在0到1之間，其中1對應于歸一化的奈奎斯特頻率πrad / sample。
如果Wp和Ws均爲標量且Wp <Ws，則buttord返回低通濾波器的階數和截止頻率。濾波器的阻帶範圍爲Ws至1，通帶範圍爲0至Wp。
如果Wp和Ws均爲標量且Wp> Ws，則buttord返回高通濾波器的階數和截止頻率。濾波器的阻帶範圍是0到Ws，通帶範圍是Wp到1。
如果Wp和Ws都是向量，並且由Ws指定的間隔包含由Wp指定的間隔（Ws（1）<Wp（1）<Wp（2）<Ws（2）），則buttord返回的階次和截止頻率爲帶通濾波器。濾波器的阻帶範圍從0到Ws（1），範圍從Ws（2）到1。通帶範圍從Wp（1）到Wp（2）。
如果Wp和Ws都是向量，並且Wp指定的間隔包含Ws指定的一個（Wp（1）<Ws（1）<Ws（2）<Wp（2）），則buttord返回的階數和截止頻率爲帶阻濾波器。濾波器的阻帶範圍爲Ws（1）至Ws（2）。通帶範圍從0到Wp（1），從Wp（2）到1。
（4）Ws —阻帶截止頻率
標量| 二元向量
阻帶截止頻率，指定爲標量或二元向量，值在0到1之間，其中1對應于歸一化的奈奎斯特頻率πrad / sample。
數據類型：單| 雙
（5）Rp-通帶紋波
標量
通帶紋波，指定爲標量，單位爲dB。
數據類型：單| 雙
（6）Rs-阻帶衰減
標量
阻帶衰減，指定爲標量，單位爲dB。
數據類型：單| 雙
Buttord的階數預測公式適用於模擬和數字情況下的模擬範圍。
對於數字情況，它將在估計階數和固有頻率之前將頻率參數轉換爲s域。 然後，該函數將轉換回z域。
buttord最初通過將所需濾波器的通帶頻率轉換爲1 rad / second（對於低通和高通濾波器）以及–1和1 rad / second（對於帶通和帶阻濾波器）來開發低通濾波器原型。 然後，它計算低通濾波器滿足阻帶規格所需的最小階數。
舉例：
對於以1000 Hz採樣的數據，設計一個低通濾波器，其0至40 Hz的通帶中的波紋不應超過3 dB，阻帶的衰減至少應爲60 dB。 查找濾波器階數和截止頻率。
Wp = 40/500; Ws = 150/500; [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,3,60) 結果爲： n = 5 Wn = 0.0810
根據二階部分指定濾波器，並繪製頻率響應。
[z,p,k] = butter(n,Wn);
sos = zp2sos(z,p,k);
freqz(sos,512,1000)
title(sprintf('n = %d Butterworth Lowpass Filter',n))
結果爲：
2、butter
[b,a] = butter(n,Wn)
[b,a] = butter(n,Wn,ftype)
[z,p,k] = butter(___)
[A,B,C,D] = butter(___)
[___] = butter(___,'s')
[b，a] = butter（n，Wn）返回歸一化截止頻率Wn的n階低通數字巴特沃斯濾波器的傳遞函數係數。
例
[b，a] = butter（n，Wn，ftype）根據ftype的值和Wn的元素數來設計低通，高通，帶通或帶阻Butterworth濾波器。最終的帶通和帶阻設計約爲2n。
注意：有關影響形成傳遞函數的數值問題的信息，請參閱限制。
例
[z，p，k] = butter（___）設計一個低通，高通，帶通或帶阻數字巴特沃斯濾波器，並返回其零，極點和增益。該語法可以包括先前語法中的任何輸入參數。
例
[A，B，C，D] = butter（___）設計一個低通，高通，帶通或帶阻數字Butterworth濾波器，並返回指定其狀態空間表示形式的矩陣。
例
[___] = butter（___，'s）設計一個截止角頻率爲Wn的低通，高通，帶通或帶阻模擬巴特沃斯濾波器。
n —濾波器階數
整數標量
濾波器的階數，指定爲整數標量。
數據類型：雙精度
（1）Wn-截止頻率
標量| 二元向量
截止頻率，指定爲標量或二元素矢量。 截止頻率是濾波器的幅度響應爲1 /√2的頻率。
如果Wn是標量，則butter將設計一個截止頻率爲Wn的低通或高通濾波器。
如果Wn是二元素矢量[w1 w2]，其中w1 <w2，則butter設計一個具有較低截止頻率w1和較高截止頻率w2的帶通或帶阻濾波器。
對於數字濾波器，截止頻率必須在0到1之間，其中1對應於奈奎斯特速率-採樣速率的一半或πrad / sample。
對於模擬濾波器，截止頻率必須以弧度/秒錶示，並且可以取任何正值。
數據類型：雙精度
（2）
ftype —過濾器類型
“low” | “bandpass” | 'high'| 'stop'
過濾器類型，指定爲以下之一：
“low”指定截止頻率爲Wn的低通濾波器。 “low”是標量Wn的默認值。
“high”指定截止頻率爲Wn的高通濾波器。
如果Wn是一個二元素矢量，則“ bandpass”指定2n階的帶通濾波器。 當Wn具有兩個元素時，默認設置爲'bandpass'。
如果Wn是二元素矢量，則“ stop”指定2n階的帶阻濾波器。
（3）b，a-傳遞函數係數
行向量
濾波器的傳遞函數係數，對於低通和高通濾波器，返回爲長度n + 1的行向量;對於帶通和帶阻濾波器，返回爲2n + 1的行向量。
對於數字濾波器，傳遞函數用b和a表示爲
對於模擬濾波器，傳遞函數用b和a表示爲
z，p，k-零點，極點和增益
列向量，標量
濾波器的零點，極點和增益作爲長度爲n的兩個列向量（對於帶通和帶阻設計爲2n）和一個標量返回。
對於數字濾波器，傳遞函數用z，p和k表示爲
A，B，C，D —狀態空間矩陣
矩陣
過濾器的狀態空間表示形式，以矩陣形式返回。 如果對於低通和高通設計，m = n，對於帶通和帶阻濾波器，m = 2n，則A爲m×m，B爲m×1，C爲1×m，D爲1×1。
對於數字濾波器，狀態空間矩陣通過以下方式將狀態向量x，輸入u和輸出y相關聯：
舉例：
設計一個截止頻率爲300 Hz的6階低通巴特沃斯濾波器，對於以1000 Hz採樣的數據，其對應於rad / sample。 繪製其幅度和相位響應。 用它來過濾1000個樣本的隨機信號。
fc = 300; fs = 1000; [b,a] = butter(6,fc/(fs/2)); freqz(b,a)
dataIn = randn(1000,1); dataOut = filter(b,a,dataIn);
設計6階Butterworth帶阻濾波器歸一化的邊沿頻率爲rad/sample。
繪製其幅度和相位響應。 用它來過濾隨機數據。
[b,a] = butter(3,[0.2 0.6],'stop'); freqz(b,a)
dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);
高通巴特沃斯濾波器
設計一個9階高通巴特沃斯濾波器。 指定300 Hz的截止頻率，對於以1000 Hz採樣的數據，它對應於rad / sample。 繪製幅度和相位響應。 將零，極點和增益轉換爲二階部分，以供fvtool使用。
[z,p,k] = butter(9,300/500,'high'); sos = zp2sos(z,p,k); fvtool(sos,'Analysis','freq')
帶通巴特沃斯濾波器
設計一個20階Butterworth帶通濾波器，其較低的截止頻率爲500 Hz，較高的截止頻率爲560 Hz。 指定1500 Hz的採樣率。 使用狀態空間表示。 使用designfilt設計一個相同的過濾器。
[A,B,C,D] = butter(10,[500 560]/750);
d = designfilt('bandpassiir','FilterOrder',20, ...
'HalfPowerFrequency1',500,'HalfPowerFrequency2',560, ...
'SampleRate',1500);
將狀態空間表示形式轉換爲二階部分。 使用fvtool可視化頻率響應。
sos = ss2sos(A,B,C,D); fvt = fvtool(sos,d,'Fs',1500); legend(fvt,'butter','designfilt')
模擬IIR低通濾波器的比較
設計一個截止頻率爲2 GHz的5階模擬Butterworth低通濾波器。 乘以將頻率轉換爲每秒弧度。 計算濾波器在4096點的頻率響應。
n = 5; f = 2e9; [zb,pb,kb] = butter(n,2*pi*f,'s'); [bb,ab] = zp2tf(zb,pb,kb); [hb,wb] = freqs(bb,ab,4096);
Design a 5th-order Chebyshev Type I filter with the same edge frequency and 3 dB of passband ripple. Compute its frequency response.
[z1,p1,k1] = cheby1(n,3,2*pi*f,'s'); [b1,a1] = zp2tf(z1,p1,k1); [h1,w1] = freqs(b1,a1,4096);
Design a 5th-order Chebyshev Type II filter with the same edge frequency and 30 dB of stopband attenuation. Compute its frequency response.
[z2,p2,k2] = cheby2(n,30,2*pi*f,'s'); [b2,a2] = zp2tf(z2,p2,k2); [h2,w2] = freqs(b2,a2,4096);
Design a 5th-order elliptic filter with the same edge frequency, 3 dB of passband ripple, and 30 dB of stopband attenuation. Compute its frequency response.
[ze,pe,ke] = ellip(n,3,30,2*pi*f,'s'); [be,ae] = zp2tf(ze,pe,ke); [he,we] = freqs(be,ae,4096);
Plot the attenuation in decibels. Express the frequency in gigahertz. Compare the filters.
plot(wb/(2e9*pi),mag2db(abs(hb)))
hold on
plot(w1/(2e9*pi),mag2db(abs(h1)))
plot(w2/(2e9*pi),mag2db(abs(h2)))
plot(we/(2e9*pi),mag2db(abs(he)))
axis([0 4 -40 5])
grid
xlabel('Frequency (GHz)')
ylabel('Attenuation (dB)')
legend('butter','cheby1','cheby2','ellip')
Butterworth和Chebyshev II型濾波器具有平坦的通帶和較寬的過渡帶。 Chebyshev I型和橢圓濾波器的滾降速度更快，但具有通帶紋波。 Chebyshev II型設計功能的輸入頻率設置了阻帶的開始而不是通帶的結束。