計算方法學習筆記——插值方法，拉格朗日插值公式

插值方法

插值方法是用來處理和分析數據的方法，所謂插值就是在所給數據的基礎上再插入一些所需的值，但這些值不是隨便給出的，而是在已有數據的基礎上進行分析，給出的近似值。

插值方法要解決的問題

首先當我們遇到一堆數據(如表1-1)時，要對這些數據進行分析，但是又沒有現成的函數表達式用來擬合數據。這時如果我們要再求出給定點的y值，就需要用到插值方法。

所謂插值，就是設法利用已給數據表求出給定點x的函數值y，表中的數據點xi=(i=0,1,2…)稱爲插值節點，所要插值的點x稱爲插值點
**插值計算的目的在於 ，通過儘可能簡便的方法 ，利用所給數據表加工出插值點 x上具有足夠精度的插值結果 ! **

其次就是要解決當一個函數f(x)的表達式非常複雜，我們沒法像普通函數一樣去求值或分析時，我們可以用一個近似簡便的函數去代替這個複雜的函數f(x)，從而求出給定點x的近似函數值y。

所以插值方法的關鍵就在於兩點：

1. 通過已有數據求出近似的關係式
   
2. 提高該關係式的計算精度。 接下來的所有計算方法的目的其實都是爲了提高精度。

代數精度的概念

我們稱上述給出的近似關係式具有m階精度，如果它對於次數<=m的多項式均能準確成立，後者說，對於冪函數y=1，x, x², x³ ,…x^m 均能準確成立，而對於y=x^m+1 不準確時，我們就稱插值公式具有m階精度。

拉格朗日插值公式 Lagrange

兩點插值

只給出兩個數據點。

現要求過一給定點x的y值。 只能通過這兩個點，求出一個近似關係式。
求出的關係式如下：

求解過程如下：

這種求解方法類似於待定係數法。關鍵點在於這個插值公式具有1階精度，就是對於y=1，x都成立，分別令y=1，y=x，代入假設的關係式，可得到方程組。

三點插值

就是有三個點的時候求近似關係式。

求出的插值公式如下：

求解過程：
三個數據點，所以用待定係數法需要假設三個未知數，如下：

爲讓這個關係式具有三階精度，對於y=1，x，x² ，x³ 都成立，可得到方程組：

通過求解這個方程組可以得到，利用Cramer法則求解

多點插值公式

多點插值公式的係數爲：

代入各點y值即可得到插值公式。