插值方法 —— Python數據工程No.8

1 插值方法的基本概念：

在實際問題中，一個函數$y=f(x)$往往是通過實驗觀測得到的，僅已知函數$f(x)$在某區間$[a, b]$上一系列點上的值：$y_{i}=f(x_{i}),i=0,1,...,n$。
當需要在在這些節點$x_{0},x_{1},...,x_{n}$之間的點$x$上的函數值時，常用較簡單的、滿足一定條件的函數$g(x)$去代替$f(x)$，插值法是一種常用方法，其插值函數$g(x)$滿足條件：
$g(x_{i})=y_{i},i=0,1,...,n$。

2 三種插值方法及其基本理論

2.1 分段線性插值
將每兩個相鄰的節點用直線連起來，如此形成的一條折線就是分段線性插值函數，記作：${{I}_{n}}\left( x \right)$ ，它滿足${{I}_{n}}\left( {{x}_{i}} \right)={{y}_{i}}$，且${{I}_{n}}\left( x \right)$在每個小區間$\left[ {{x}_{i}},{{x}_{i+1}} \right]$上是線性函數$\left( i=0,1,\cdots ,n-1 \right)$ 。

$I_{n}(x)$可以表示爲${{I}_{n}}\left( x \right)\sum\limits_{i=0}^{n}{{{y}_{i}}{{l}_{i}}\left( x \right)}$，其中：
${{I}_{n}}\left( x \right)$有良好的收斂性，即對於$x\in \left[ a,b \right]$，有$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{I}_{n}}\left( x \right)=f\left( x \right)$。

證明：
對於$\left( {{x}_{i}},{{y}_{i}} \right)$和$\left( {{x}_{i+1}},{{y}_{i+1}} \right)$兩點，根據直線兩點式，我們有：
$\frac{x-{{x}_{i+1}}}{{{x}_{i}}-{{x}_{i+1}}}=\frac{y-{{y}_{i+1}}}{{{y}_{i}}-{{y}_{i+1}}}$
$y=\frac{x-{{x}_{i+1}}}{{{x}_{i}}-{{x}_{i+1}}}\cdot \left( {{y}_{i}}-{{y}_{i+1}} \right)+{{y}_{i+1}}$
$y=\frac{x-{{x}_{i+1}}}{{{x}_{i}}-{{x}_{i+1}}}\cdot {{y}_{i}}-\frac{x-{{x}_{i+1}}}{{{x}_{i}}-{{x}_{i+1}}}\cdot {{y}_{i+1}}+\frac{{{x}_{i}}-{{x}_{i+1}}}{{{x}_{i}}-{{x}_{i+1}}}{{y}_{i+1}}$
$y=\frac{x-{{x}_{i+1}}}{{{x}_{i}}-{{x}_{i+1}}}\cdot {{y}_{i}}+\frac{x-{{x}_{i}}}{{{x}_{i+1}}-{{x}_{i}}}\cdot {{y}_{i+1}}$
得證

2.2 拉格朗日插值

${{l}_{i}}\left( x \right)=\frac{\left( x-{{x}_{0}} \right)\cdots \left( x-{{x}_{i-1}} \right)\left( x-{{x}_{i+1}} \right)\cdots \left( x-{{x}_{n}} \right)}{\left( {{x}_{i}}-{{x}_{0}} \right)\cdots \left( {{x}_{i}}-{{x}_{i-1}} \right)\left( {{x}_{i}}-{{x}_{i+1}} \right)\cdots \left( {{x}_{i}}-{{x}_{n}} \right)}$

2.3 樣條插值
樣條函數的概念：
樣條(Spline)本來是工程設計中使用的一種繪圖工具，是富有彈性的細木條或金屬條。繪圖員利用它把一些已知點連接成一條光滑曲線(稱樣條曲線)，並使連接點出有連續的曲率。樣條函數就是由此抽象而來。
數學上將具有一定光滑性的分段多項式稱爲樣條函數。具體地說，給定區間$[a,b]$的一個劃分$\Delta:a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n-1}<x_{n}=b$
如果函數$S(x)$滿足：
（1） 在每個小區間$[x_{i},x_{i+1}]$($i=0,1,...,n-1$)上$S(x)$是$m$次多項式；
（2） $S(x)$在$[a,b]$上具有$m-1$階連續導數。
則稱$S(x)$爲關於劃分$\Delta$的$m$次樣條函數，其圖形爲$m$次樣條函數曲線。

3 插值方法應用實例

郵輪的零件外形根據工藝要求由一組數據$(x,y)$給出(在平面情況下)，使用3D打印機智能沿$x$方向和$y$方向走非常小的一步，這就需要從已知數據得到加工所要求的步長很小的$(x,y)$座標。下標給出了部分離散點，請根據下表中的離散點繪製$y$關於$x$的連續函數圖像。

$x$	0	3	5	7	9	11	12	13	14	15
$y$	0	1.2	1.7	2.0	2.1	2.0	1.8	1.2	1.0	1.6

實現代碼：
python代碼如下所示：

import numpy as np
from scipy import interpolate
import pylab as pl


x0 = [0, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15];
y0 = [0, 1.2, 1.7, 2.0, 2.1, 2.0, 1.8, 1.2, 1.0, 1.6];


x=np.linspace(0,15,151)


for kind in ["nearest","zero","slinear","quadratic","cubic"]:#插值方式
    #"nearest","zero"爲階梯插值
    #slinear 線性插值
    #"quadratic","cubic" 爲2階、3階B樣條曲線插值
    f=interpolate.interp1d(x0,y0,kind=kind)
    # ‘slinear’, ‘quadratic’ and ‘cubic’ refer to a spline interpolation of first, second or third order)
    ynew=f(x)
    pl.plot(x,ynew,label=str(kind))

pl.legend(loc="lower right")
pl.show()

代碼運行結果如下所示：
matlab代碼如下所示：

x0 = [0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y0 = [0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];

x = 0 : 0.1 : 15;                   %此處實現了0到15，步長0.1的序列x
y1 = interp1(x0, y0, x);            %對序列x0於y0進行interp1，默認爲linear線性插值
y2 = interp1(x0, y0, x, 'spline');  %立方樣條插值
pp1 = csape(x0, y0);                %調用csape函數
y3 = fnval(pp1, x);                 %三次樣條插值
pp2 = csape(x0, y0, 'second');      
y4 = fnval(pp2, x);                 
[x', y1', y2', y3', y4']            
subplot(1,3,1)                      
plot(x0, y0, '+', x, y1)            
title('Piecewise linear')           
subplot(1, 3, 2)                    
plot(x0, y0, '+', x, y2)            
title('Spline1')                    
subplot(1, 3, 3)                    
plot(x0, y0, '+', x, y3)            %繪製二維圖形
title('Spline2')    

代碼運行結果如下所示：