leetcode *面試題 08.11. 硬幣

【題目】*面試題 08.11. 硬幣（待研究）

*22. 括號生成
*46. 全排列
*95. 不同的二叉搜索樹 II
401. 二進制手錶

*322. 零錢兌換
*面試題 08.11. 硬幣

硬幣。給定數量不限的硬幣，幣值爲25分、10分、5分和1分，編寫代碼計算n分有幾種表示法。(結果可能會很大，你需要將結果模上1000000007)

示例1:

 輸入: n = 5
 輸出：2
 解釋: 有兩種方式可以湊成總金額:
5=5
5=1+1+1+1+1

示例2:

 輸入: n = 10
 輸出：4
 解釋: 有四種方式可以湊成總金額:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

說明：

注意:
0 <= n (總金額) <= 1000000

【解題思路1】動態規劃

揹包問題

求和公式到遞推式的展開

二維數組優化爲一維滾動數組

二維數組

class Solution {
    public int waysToChange(int n) {

        if (n < 5)
            return 1;
        if (n == 5)
            return 2;
        int[] coins = {1, 5, 10, 25};
        int[][] dp = new int[4][n + 1];
        // 當數量爲0，1時，有1種表示法
        for(int i = 0; i < 4; ++i){
             dp[i][0] = 1;
             dp[i][1] = 1;
        }  
        // 當只有一種硬幣時，只有1種表示法
        for(int i = 0; i <=n; ++i)
            dp[0][i] = 1;
        /*
         * 狀態：dp[i][j]表示[0...i]種硬幣能組合爲j的所有不同種數
         * 狀態轉移：取 或 不取 當前硬幣coins[i]
         */
        for (int i = 1; i < 4; ++i) {
            for (int j = 2; j <= n; ++j) {
                if (j >= coins[i])
                    dp[i][j] = (dp[i][j - coins[i]] + dp[i - 1][j]) % 1000000007;
                else
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
        return dp[3][n];
    }
}

一維滾動數組
dp[0] = 1 可以理解爲任何一種幣值都有“一個都不放”的情況，而這種情況都是符合要求的。

class Solution {
    public int waysToChange(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        int[] coins = new int[]{1,5,10,25};
        dp[0] = 1;
        //dp方程：dp[i] += dp[i - coin];
        for(int coin : coins) {
            for(int i = coin; i <= n; i++) {
                dp[i] = (dp[i] + dp[i - coin]) % 1000000007;
            }
        }
        
        return dp[n];
    }
}

- 狀態:dp[i] 表示總分爲i的硬幣的組合方法數
- 狀態方程：dp[i] 總共可以由 dp[i-1],dp[i-5],dp[i-10],dp[i-25]這四種情況＋一枚硬幣轉換而來
- 因此 dp[i] += dp[i-j] (j=1, 5,10,25, i-j>=0)
- 邊界條件,dp[0]=1, dp[1] += dp[0] = 1,
- 輸出:dp[n]

兩層循環順序不可以調換，否則會有重複計算，如 1+1+1+1+1+5 和 1+1+1+1+5+1 被重複計算，但題目中看做是一種。
因爲是按照硬幣種類遞增推倒的轉換方程，每增加一種硬幣,F[v] v={0,1,2,3…v} 都有了當前硬幣種類數對應的值.
比如 只有1分的硬幣時 F[v]有一套對應的值，當增加了一種硬幣,比如5分硬幣，對應的,F[v] v={0,1,2,3…v}的值將更新.
外層循環更新硬幣種類數,內層循環更新F[v] v={0,1,2,3…v}的值，所以不能調換內外循環.

【解題思路2】數學 - 等差數列求和

class Solution {
    public int waysToChange(int n) {
        int ans = 0;
        int mod = 1000000007;
        for (int i = 0; i <= n / 25; i++) {
            int rest = n - i * 25;
            int p = rest / 5;
            int q = rest / 10;
            ans = ans + (p + 1)*(q + 1) % mod - q*(q + 1) % mod;
            ans %= mod;
        }
        return ans;
    }
}