leetcode *378. 有序矩陣中第K小的元素

【題目】*378. 有序矩陣中第K小的元素

給定一個 n x n 矩陣，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩陣中第 k 小的元素。
請注意，它是排序後的第 k 小元素，而不是第 k 個不同的元素。

示例：

matrix = [
   [ 1,  5,  9],
   [10, 11, 13],
   [12, 13, 15]
],
k = 8,
返回 13。

提示：
你可以假設 k 的值永遠是有效的，1 ≤ k ≤ n2 。

【解題思路1】暴力法

轉化爲一維數組，排序後返回下標 k-1 的元素

class Solution {
    public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {
        int len = matrix.length;
        int[] temp = new int[len * len];
        int index = 0;
        for (int[] arr : matrix) {
            for (int a : arr) {
                temp[index++] = a;
            }
        }
        Arrays.sort(temp);
        return temp[k - 1];
    }
}

【解題思路2】歸併排序（待研究）

這個矩陣的每一行均爲一個有序數組。問題即轉化爲從這 n 個有序數組中找第 k 小的數，可以想到利用歸併排序的做法，歸併到第 k 個數即可停止。
一般歸併排序是兩個數組歸併，而本題是 n 個數組歸併，所以需要用小根堆維護，以優化時間複雜度，歸併方式參考 23. 合併K個排序鏈表

class Solution {
    public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {
        PriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<int[]>(new Comparator<int[]>() {
            public int compare(int[] a, int[] b) {
                return a[0] - b[0];
            }
        });
        int n = matrix.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            pq.offer(new int[]{matrix[i][0], i, 0});
        }
        for (int i = 0; i < k - 1; i++) {
            int[] now = pq.poll();
            if (now[2] != n - 1) {
                pq.offer(new int[]{matrix[now[1]][now[2] + 1], now[1], now[2] + 1});
            }
        }
        return pq.poll()[0];
    }
}

【解題思路3】二分法

起點也就是初始位置在 matrix[n - 1][0]（即左下角）
設當前位置爲 matrix[i][j]，若 matrix[i][j]≤mid，則將當前所在列的不大於 mid 的數的數量有i + 1個累加到答案中，並向右移動，否則向上移動；不斷移動直到走出格子爲止，最終會走出一條從左下角到右上角的鋸齒分界線。
下面的例圖取mid=8得到的分界線

這樣二分就可以線性計算對於任意一個 mid，矩陣中有多少數不小於它。

不妨假設我們要求解的第k小元素爲 x，那麼可以知道 left ≤ x ≤ right，初始上下界是左上角和右下角也就是最小和最大的兩個數。
每次對於「猜測」的答案 mid，計算矩陣中有多少數 <= mid ：

• 如果數量 >= k，那麼說明 x <= mid；
• 如果數量 < k，那麼說明 x > mid。

class Solution {
    public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {
        int n = matrix.length;
        int left = matrix[0][0];
        int right = matrix[n - 1][n - 1];
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (check(matrix, mid, k, n)) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }

    //判斷 <= mid 的元素個數是否 >= k 個
    public boolean check(int[][] matrix, int mid, int k, int n) {
        int i = n - 1;
        int j = 0;
        int count = 0;
        while (i >= 0 && j < n) {
            if (matrix[i][j] <= mid) {
                count += i + 1;
                j++;
            } else {
                i--;
            }
        }
        return count >= k;
    }
}