在二叉搜索樹中，已經知道search、insert和remove等主要接口的運行時間均正比於樹的高度。但是在最壞的情況下，二叉搜索樹可能退化成列表，此時查找的效率會降至O(n)。因此，通常通過控制樹高，來控制最壞情況下的時間複雜度。
AVL樹腦圖
對於節點數目固定的BST，越是平衡，最壞情況下的查找速度越快，如下圖所示：
二叉搜索樹只有保持平衡時其查找效率纔會高。
AVL樹的特徵
- 左子樹與右子樹高度之差的絕對值不超過1
- 樹的每個左子樹和右子樹都是AVL樹
- 每一個節點都有一個平衡因子（balance factor），任一節點的平衡因子是-1、0、1（每一個節點的平衡因子 = 右子樹高度 - 左子樹高度）
當子樹的根結點的平衡因子爲+1時，它是左傾斜的（left-heavy)。
當子樹的根結點的平衡因子爲 -1時，它是右傾斜的(right-heavy)。
一顆子樹的根結點的平衡因子就代表該子樹的平衡性。
保持所有子樹幾乎都處於平衡狀態，AVL樹在總體上就能夠基本保持平衡。
AVL樹的基本查找、插入結點的操作和二叉樹的操作一樣。但是，當向AVL樹中插入一個結點後，還有一些額外的工作要做。首先，必須計算因插入操作對平衡因子帶來的改變。其次，如果任何平衡因子變成了+/-2，就必須從這個結點開始往下重新平衡這顆樹，這個重新平衡的過程就稱爲旋轉。
AVL樹的旋轉
旋轉操作用來重新平衡樹的某個部分。通過重新安排結點 ，使結點之間的關係始終保持左子結點小於父結點，父結點小於右子結點。使得該樹仍然是一顆二叉搜索樹。旋轉過後，旋轉子樹中的所有結點的平衡因子都爲+1、-1或0。
AVL樹的旋轉類型有4種， 分別是LL(left-left)旋轉、LR(left-right)旋轉、RR(right-right)旋轉和RL(right-left)旋轉。
爲方便理解在何時執行哪一種旋轉，設x代表剛插入AVL樹中的結點，設A爲離x最近且平衡因子更改爲2的絕對值的祖先。
LL旋轉
如下圖所示，當x位於A的左子樹的左子樹上時，執行LL旋轉。
設left爲A的左子樹，要執行LL旋轉，將A的左指針指向left的右子結點，left的右指針指向A，將原來指向A的指針指向left。
旋轉過後，將A和left的平衡因子都改爲0。所有其他結點的平衡因子沒有發生變化。
LR旋轉
當x位於A的左子樹的右子樹上時，執行LR旋轉。
設left是A的左子結點，並設A的子孫結點grandchild爲left的右子結點。
要執行LR旋轉，將left的右子結點指向grandchild的左子結點，grandchild的左子結點指向left，A的左子結點指向grandchild的右子結點，再將grandchild的右子結點指向A，最後將原來指向A的指針指向grandchild。
執行LR旋轉之後，調整結點的平衡因子取決於旋轉前grandchild結點的原平衡因子值。
如果grandchild結點的原始平衡因子爲+1，就將A的平衡因子設爲-1，將left的平衡因子設爲0。
如果grandchild結點的原始平衡因子爲0，就將A和left的平衡因子都設置爲0。
如果grandchild結點的原始平衡因子爲-1，就將A的平衡因子設置爲0，將left的平衡因子設置爲+1。
在所有的情況下，grandchild的新平衡因子都是0。所有其他結點的平衡因子都沒有改變。
RR旋轉
當x位於A的右子樹的右子樹上時，執行RR旋轉。
RR旋轉與LL旋轉是對稱的關係。
設A的右子結點爲Right。要執行RR旋轉，將A的右指針指向right的左子結點，right的左指針指向A，原來指向A的指針修改爲指向right。
完成旋轉以後，將A和left的平衡因子都修改爲0。所有其他結點的平衡因子都沒有改變。
RL旋轉
當x位於A的右子樹的左子樹上時，執行RL旋轉。
RL旋轉與LR旋轉是對稱的關係。
設A的右子結點爲right，right的左子結點爲grandchild。要執行RL旋轉，將right結點的左子結點指向grandchild的右子結點，將grandchild的右子結點指向right，將A的右子結點指向grandchild的左子結點，將grandchild的左子結點指向A，最後將原來指向A的指針指向grandchild。
執行RL旋轉以後，調整結點的平衡因子取決於旋轉前grandchild結點的原平衡因子。這裏也有三種情況需要考慮：
如果grandchild的原始平衡因子值爲+1，將A的平衡因子更新爲0，right的更新爲-1；
如果grandchild的原始平衡因子值爲 0，將A和right的平衡因子都更新爲0；
如果grandchild的原始平衡因子值爲-1，將A的平衡因子更新爲+1，right的更新爲0；
在所有情況中，都將grandchild的新平衡因子設置爲0。所有其他結點的平衡因子不發生改變。
