詳解計算機運算 之 補碼

數據在計算機中的存儲並非我們在物理世界見到的那樣，由於計算機只能存儲二進制數，因此需要將十進制數轉換成二進制數再進行存儲，而轉換後的二進制數的運算也面臨許多問題，因此引入了反碼和補碼的概念！

在微機中，凡是有符號數都是採用補碼錶示，所以運算的結果也是用補碼錶示的。

爲什麼引入補碼的概念呢？

因爲在計算機中，對於二進制的算術運算可以將乘法運算轉換爲加法和左移運算，而除法則可轉換爲減法和右移運算，故加、減、乘、除運算最終可歸結爲加、減和位移 3種 操作來完成。

但在計算機中爲了節省設備，一般只設置加法器而無減法器，這就需要將減法運算轉化爲加法運算，從而使計算器中的二進制四則運算最終變成加法和位移兩種操作。

引入補碼運算就是用來解決將減法運算轉化爲加法運算的。

數據的表示：基數 & 權

無論哪一種進制數的表示，都是由 基數和權的組合，

計算機中的符號數有3種表示方法，即 源碼、反碼、補碼，它們均是由符號位和數值部分組成；

• 符號位的表示方法相同：即 1表示負數，0表示 正數；

1、原碼

$\qquad \qquad [X]_原 = \begin{cases} X \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad \quad 0 \leq X \\ 2^{n-1} - X =2^{n-1} + |X| \qquad X \leq0 \end{cases}$

• 機器數的最高位爲符號位：0表示正號，1表示負號，其他部分是數的絕對值；

• 源碼錶示中的 0 有兩種不同的表示形式，即 +0 和 -0；
  $[+0]_原 = 0000\quad 0000$
  $[-0]_原 = 1000\quad 0000$

• 原碼錶示法的優點是：簡單、易於理解，與真值間的轉換較爲方便，用原碼實現乘除運算的規則比較簡單；

• 原碼錶示法的優點是：進行加減運算時比較麻煩，要比較加減運算的兩個數的符號、兩個數的絕對值的大小，還要確定運算結果的正確的符號等；

2、反碼

真值 X 的反碼記爲 $[X]_反$ 。

$\qquad \qquad [X]_原 = \begin{cases} X \qquad \qquad\qquad \quad 0 \leq X \\ X+ \{ 2^{n} -1 \} \qquad X \leq0 \end{cases}$

• 對於正數而言，其表示方法同原碼一樣，即數值部分與真值相同；
• 對於負數而言，其反碼的數值部分爲真值的各位按位取反；

反碼的性質：

• 在反碼錶示法中，機器數的最高位是符號位，0表示正數，1表示負號；

• 反碼運算很不方便，數值 0 的表示也不唯一，因此在處理器中很少使用；

• 同原碼一樣，數0 也有兩種表示形式；
  $[+0]_反 = 0000\quad 0000$
  $[-0]_反 = 1111\quad 1111$

3、補碼

真值 X 的補碼記爲 $[X]_補$ 。

$\qquad \qquad [X]_補 = \begin{cases} X \qquad \qquad\qquad \quad 0 \leq X \\ 2^{n} - |X| \qquad \qquad X \leq0 \qquad\end{cases}$

• 與原碼和反碼的表示法相同，機器數的最高位是符號位，0表示正號，1表示負號；

• 正數的補碼與它的原碼相同；而反碼的補碼等於其符號位不變，數值部分的各位按位取反 再加1；

• 數 0 的補碼錶示法是唯一的；
  $[+0]_補 = 0000\quad 0000$
  $[-0]_補 = [-0]_反 +1 =1111\quad 1111 +1 = 0000 \quad 0000$
  SO $\qquad[+0]_補 = [-0]_補 = 0000 \quad 0000$

• 對於8進制數而言，其取值範圍是 -128 —+127；

4、補碼的運算

• 補碼的加法規則：$[X+Y]_補 = [X]_補 + [Y]_補$
• 補碼的減法規則：$[X-Y]_補 = [X]_補 - [Y]_補 = [X]_補 + [-Y]_補$

注：
$[-Y]_補$ 稱爲對補碼數 $[Y]_補$ 求變補；

變補的規則爲：

• 對 $[Y]_補$ 的每一位（包括符號位）按位取反加 1，則結果就是 $[-Y]_補$。
• 當然，也可以直接對 $-Y$ 求補碼，結果是一樣的。

有符號數運算時的溢出判斷

咋兩個有符號數進行加減運算時，如果運算結果超出上述可表示的有效範圍，就會發生溢出，使計算結果出錯。

判斷有符號數相加或異符號數相減時：

• 如果次高位向最高位有進位（借位），而最高位向上無進位（借位），則結果發生溢出；
• 反過來，如果次高位向最高位無進位（借位），而最高位向上有進位（借位），則結果也發生溢出；

對於 8位 二進制數，若 $D_6$ 位產生的 進位（借位）記爲 $C_6$，$D_7$ 位產生的進位（借位）記爲 $C_7$，那麼：

• 在兩個帶符號二進制數相加或相減時，若 $C_6 \oplus C_7$ 則結果產生溢出（$\oplus$ 是異或）；
  無符號數 與 有符號數產生溢出的條件因各自可表示數的範圍不同而不同。
• 無符號數的溢出判斷僅看最高位向上是否有進位（借位）；
• 有符號數的溢出判斷需要看次高位和最高位 兩位的進位（借位）情況；
  兩位都產生進位（借位）或都沒有產生進位（借位），則結果無溢出；
  其中只有一位產生了進位（借位），則結果產生溢出，計算結果不正確；

運算時產生溢出，其結果肯定不正確，計算機對溢出的處理，一般是產生一箇中斷，通知用戶採取某種措施；