用Java實現【動態規劃算法】

本講解以揹包問題舉例

一、介紹

• 動態規劃(Dynamic Programming)算法的核心思想是：將大問題劃分爲小問題進行解決，從而一步步獲取最優解的處理算法

• 動態規劃算法與分治算法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。

• 與分治法不同的是，適合於用動態規劃求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的。 ( 即下一個子階段的求解是建立在上一個子階段的解的基礎上，進行進一步的求解 )

• 動態規劃可以通過填表的方式來逐步推進，得到最優解.

二、揹包問題

1.問題

有一個揹包，容量爲4磅

現有如下物品

• 要求達到的目標爲裝入的揹包的總價值最大，並且重量不超出
• 要求裝入的物品不能重複

2.思路分析

分析

• 揹包問題主要是指一個給定容量的揹包、若干具有一定價值和重量的物品，如何選擇物品放入揹包使物品的價值最大。其中又分01揹包和完全揹包(完全揹包指的是：每種物品都有無限件可用)
• 這裏的問題屬於01揹包，即每個物品最多放一個。而無限揹包可以轉化爲01揹包。

步驟

• 每次遍歷到的第i個物品，根據weight[i]和price[i]來確定是否需要將該物品放入揹包中。
• price[i][0]=price[0][j]=0; 表示 填入表 第一行和第一列是0
• 當weight[i]> j 時：price[i][j]=price[i-1][j] // 當準備加入新增的商品的容量大於 當前揹包的容量時，就直接使用上一個單元格的裝入策略
• 當j>=weight[i]時： price[i][j]=max{price[i-1][j], price[i]+price[i-1][j-weight[i]]}
  // 當 準備加入的新增的商品的容量小於等於當前揹包的容量,
  // 裝入的方式：
• • price[i-1][j]： 就是上一個單元格的裝入的最大值
    price[i] : 表示當前商品的價值
    price[i-1][j-weight[i]] ： 裝入i-1商品，到剩餘空間j-w[i]的最大值
    當j>=weight[i]時： price[i][j]=max{price[i-1][j], price[i]+price[i-1][j-weight[i]]} :

3.代碼實現

public class KnapsackProblemDemo {

    public static void main(String[] args) {
        //物品的重量
        int[] weight = {1, 4, 3};
        //物品的價格
        int[] price = {1500, 3000, 2000};
        //揹包的容量
        int capacity = 4;

        KnapsackProblem knapsackProblem = new KnapsackProblem(weight,price,capacity);

        //顯示最佳裝配的商品下標
        knapsackProblem.showProduct();
    }
}

class KnapsackProblem{
    //物品的重量
    int[] weight = {1, 4, 3};
    //物品的價格
    int[] price = {1500, 3000, 2000};
    //揹包的容量
    int capacity = 4;
    //物品的個數
    int number;
    //創建二維數組
    //dataArray[i][j] 表示在前i個物品中能夠裝入容量爲j的揹包中的最大價值
    int[][] dataArray;
    //記錄放入的商品情況
    int[][] product;

    public KnapsackProblem(int[] weight, int[] price, int capacity) {
        if(weight.length != price.length){
            System.out.println("物品重量與價值數量不匹配！");
            return;
        }
        this.weight = weight;
        this.price = price;
        this.capacity = capacity;
        this.number = weight.length;
        this.dataArray =  new int[number + 1][capacity + 1];
        this.product =  new int[number + 1][capacity + 1];


        init();
        run();
    }

    /**
     * 輸出數據表
     */
    public void showDataTable(){
        //輸出看看dataArray
        for (int i = 0; i < dataArray.length; i++) {
            for (int j = 0; j < dataArray[i].length; j++) {
                System.out.print(dataArray[i][j] + "\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    /**
     * 初始化狀態
     */
    private void init(){
        //初始化第一行和第一列,不賦默認值則爲0
        //將第一列設置爲0
        for (int i = 0; i < dataArray.length; i++) {

            dataArray[i][0] = 0;
        }
        //第一行設爲0
        for (int i = 0; i < dataArray[0].length; i++) {
            dataArray[0][i] = 0;
        }
    }

    /**
     * 進行處理
     */
    private void run(){
        //從1開始是爲了跳過第一行和第一列
        for (int i = 1; i < dataArray.length; i++) {
            for (int j = 1; j < dataArray[0].length; j++) {
                //
                if (weight[i - 1] > j) {
                    dataArray[i][j] = dataArray[i - 1][j];
                } else {
                    if (dataArray[i - 1][j] < price[i - 1] + dataArray[i - 1][j - weight[i - 1]]) {
                        dataArray[i][j] = price[i - 1] + dataArray[i - 1][j - weight[i - 1]];
                        //將當前物品情況記錄到path
                        product[i][j] = 1;
                    } else {
                        dataArray[i][j] = dataArray[i - 1][j];
                    }
                }
            }
        }
    }

    public void showProduct(){
        //行的最大下標
        int rowMax = product.length - 1;
        //列的最大下標
        int colMax = product[0].length - 1;

        while (rowMax > 0 && colMax > 0) {
            if (product[rowMax][colMax] == 1) {
                System.out.printf("第 %d 個商品\n", rowMax);
                colMax -= weight[rowMax - 1];
            }
            rowMax--;
        }
    }
}