用Java实现【动态规划算法】

本讲解以揹包问题举例

一、介绍

• 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

• 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

• 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )

• 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

二、揹包问题

1.问题

有一个揹包，容量为4磅

现有如下物品

• 要求达到的目标为装入的揹包的总价值最大，并且重量不超出
• 要求装入的物品不能重复

2.思路分析

分析

• 揹包问题主要是指一个给定容量的揹包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入揹包使物品的价值最大。其中又分01揹包和完全揹包(完全揹包指的是：每种物品都有无限件可用)
• 这里的问题属于01揹包，即每个物品最多放一个。而无限揹包可以转化为01揹包。

步骤

• 每次遍历到的第i个物品，根据weight[i]和price[i]来确定是否需要将该物品放入揹包中。
• price[i][0]=price[0][j]=0; 表示 填入表 第一行和第一列是0
• 当weight[i]> j 时：price[i][j]=price[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前揹包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
• 当j>=weight[i]时： price[i][j]=max{price[i-1][j], price[i]+price[i-1][j-weight[i]]}
  // 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前揹包的容量,
  // 装入的方式：
• • price[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
    price[i] : 表示当前商品的价值
    price[i-1][j-weight[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
    当j>=weight[i]时： price[i][j]=max{price[i-1][j], price[i]+price[i-1][j-weight[i]]} :

3.代码实现

public class KnapsackProblemDemo {

    public static void main(String[] args) {
        //物品的重量
        int[] weight = {1, 4, 3};
        //物品的价格
        int[] price = {1500, 3000, 2000};
        //揹包的容量
        int capacity = 4;

        KnapsackProblem knapsackProblem = new KnapsackProblem(weight,price,capacity);

        //显示最佳装配的商品下标
        knapsackProblem.showProduct();
    }
}

class KnapsackProblem{
    //物品的重量
    int[] weight = {1, 4, 3};
    //物品的价格
    int[] price = {1500, 3000, 2000};
    //揹包的容量
    int capacity = 4;
    //物品的个数
    int number;
    //创建二维数组
    //dataArray[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的揹包中的最大价值
    int[][] dataArray;
    //记录放入的商品情况
    int[][] product;

    public KnapsackProblem(int[] weight, int[] price, int capacity) {
        if(weight.length != price.length){
            System.out.println("物品重量与价值数量不匹配！");
            return;
        }
        this.weight = weight;
        this.price = price;
        this.capacity = capacity;
        this.number = weight.length;
        this.dataArray =  new int[number + 1][capacity + 1];
        this.product =  new int[number + 1][capacity + 1];


        init();
        run();
    }

    /**
     * 输出数据表
     */
    public void showDataTable(){
        //输出看看dataArray
        for (int i = 0; i < dataArray.length; i++) {
            for (int j = 0; j < dataArray[i].length; j++) {
                System.out.print(dataArray[i][j] + "\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    /**
     * 初始化状态
     */
    private void init(){
        //初始化第一行和第一列,不赋默认值则为0
        //将第一列设置为0
        for (int i = 0; i < dataArray.length; i++) {

            dataArray[i][0] = 0;
        }
        //第一行设为0
        for (int i = 0; i < dataArray[0].length; i++) {
            dataArray[0][i] = 0;
        }
    }

    /**
     * 进行处理
     */
    private void run(){
        //从1开始是为了跳过第一行和第一列
        for (int i = 1; i < dataArray.length; i++) {
            for (int j = 1; j < dataArray[0].length; j++) {
                //
                if (weight[i - 1] > j) {
                    dataArray[i][j] = dataArray[i - 1][j];
                } else {
                    if (dataArray[i - 1][j] < price[i - 1] + dataArray[i - 1][j - weight[i - 1]]) {
                        dataArray[i][j] = price[i - 1] + dataArray[i - 1][j - weight[i - 1]];
                        //将当前物品情况记录到path
                        product[i][j] = 1;
                    } else {
                        dataArray[i][j] = dataArray[i - 1][j];
                    }
                }
            }
        }
    }

    public void showProduct(){
        //行的最大下标
        int rowMax = product.length - 1;
        //列的最大下标
        int colMax = product[0].length - 1;

        while (rowMax > 0 && colMax > 0) {
            if (product[rowMax][colMax] == 1) {
                System.out.printf("第 %d 个商品\n", rowMax);
                colMax -= weight[rowMax - 1];
            }
            rowMax--;
        }
    }
}