matlab矩陣代數學習筆記

矩陣分析

• 行列式
  • MATLAB中求解矩陣行列式的函數是det。
• 逆
  • MATLAB中可以通過函數inv求解矩陣的逆。
    • 矩陣的逆在求解線性方程組時是重要的，對於一般的給定線性方程組A*X=b，其解就可以通過X=inv(A)*b求得。
    • 需要注意的是，對於嚴重病態的矩陣或奇異矩陣，inv求解時會出現警告提示，因爲這時候其逆矩陣本來就不存在，或者非常容易受擾動而使得求解不精確。
    • 對於一般的長方形矩陣A，A*X=I和X*A=I中至少有一個沒有解，因此長方形矩陣A沒有逆矩陣。但MATLAB中可以用pinv函數求解長方形矩陣A的僞逆矩陣B=pinv(A)，B一定滿足B*A=I或A*B=I中的一個等式。
• 秩
  • MATLAB中求解矩陣秩的函數是rank。
• 矩陣的範數和條件數
  • 矩陣條件數是用來刻畫矩陣病態程度的關鍵表徵量。矩陣的條件數越大，代表矩陣病態程度越嚴重。線性方程組A*X=b中，如果係數矩陣A嚴重病態，其精確求解將是很困難的。
    • （1）1-範數norm(A,1)實際上返回矩陣A列向元素和的最大值max(sum(abs(A)))。
    • （2）2-範數norm(A,2)返回矩陣A的最大奇異值max(svd(A))。
    • （3）無窮範數norm(A,inf)返回矩陣A行向元素和的最大值max(sum(abs(A’)))
    • norm(A)相當於norm(A,2)，求解矩陣A的2-範數。
  • MATLAB中求解矩陣條件數的函數是cond。
    • 一個矩陣和它的逆矩陣一定具有相同的條件數。另外，對於秩爲0或非常接近0的奇異矩陣，其條件數會非常大，即矩陣病態程度很嚴重。
• 矩陣的特徵值、特徵向量和特徵多項式
  • （1）d=eig(A)返回n*n矩陣A的n個特徵值。
  • （2）[V,D]=eig(A)返回以矩陣A的特徵向量爲列的矩陣V和以矩陣A的特徵值爲對角元素的矩陣D。
  • poly(A)生成矩陣A的特徵多項式，即det(λ*I-A)這一λ的n階多項式。矩陣A的特徵多項式的根，實際上就是矩陣A的特徵值。
• 矩陣的標準正交基
  • 這樣的最少個數的一組基向量稱爲該空間的基，如果這些向量正好長度爲1，彼此正交，則稱爲標準正交基。
  • 在MATLAB中，可以通過orth函數產生矩陣A的線性空間的一組標準正交基，即若B=orth(A)，則B的列向量組成了矩陣A的線性空間的一組標準正交基，於是B’*B=eye(rank(A))。
• 矩陣分解
  • LU分解
    • LU分解，是把矩陣A分解爲兩個矩陣的乘積，其中一個是下三角矩陣置換後的矩陣，另一個是上三角矩陣。MATLAB中通過函數lu可以實現矩陣的LU分解。
      • （1）[L,U]=lu(A)把矩陣A分解爲下三角矩陣的置換矩陣L和上三角矩陣U，滿足A=L*U。
      • （2）[L,U,P]=lu(A)的分解結果中L是一個下三角矩陣，U是一個上三角矩陣，P是一個置換矩陣，滿足LU = PA。
  • Cholesky分解
    • 一個對稱正定矩陣，可以分解爲一個下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積，這種分解稱爲Cholesky分解。MATLAB中通過chol函數實現矩陣的Cholesky分解。
    • R=chol(A)得到一個上三角矩陣，滿足R’*R=A。
    • 因爲chol只能分解對稱正定矩陣，因此使用chol之前最好通過eig命令檢查矩陣A的所有特徵值是否爲正（即矩陣是否正定）。
  • QR分解
    • QR分解是把矩陣分解爲一個正交矩陣和一個上三角矩陣的乘積。MATLAB中實現QR分解的命令是qr。
    • [Q,R]=qr(A)把矩陣A分解爲正交矩陣Q和上三角矩陣R，滿足A=Q*R。
    • QR分解不僅適用於分解方陣，也可以分解長方形矩陣。
  • SVD分解（奇異值分解）
    • 奇異值分解也是常用的矩陣分解之一。MATLAB中通過svd函數實現矩陣的奇異值分解。
      • （1）s=svd[A]返回矩陣A的奇異值組成的列向量。
      • （2）[U,S,V]=svd(A)將矩陣A分解爲3個矩陣的乘積，即A=USV’：其中U和V是正交矩陣，S是一個對角矩陣，其對角元素爲矩陣A奇異值的降序排列。
  • Schur分解
    • MATLAB中實現Schur分解的命令是schur。其語法格式爲：
    • 其中，U是一個正交矩陣，T是一個上三角矩陣，稱爲A的Schur矩陣，並且滿足A=UTU’。
• 矩陣的對角元素操作
  • MATLAB中支持的對矩陣對角元素的操作包括：提取對角元素，求矩陣對角元素的和（矩陣的跡），提取矩陣的上三角或下三角部分。
    • （1）函數diag提取矩陣的對角元素爲一個向量。
    • （2）函數trace計算矩陣的跡。
    • （3）函數tril提取矩陣的下三角部分。
    • （4）函數triu提取矩陣的上三角部分。
• 矩陣分析函數總結
  

線性方程組

• 線性方程組的表示和種類
  • （1）當方程個數等於未知數個數，即係數矩陣A是一個方陣而且滿秩時，即rank(A)=m=n，此線性方程組具有唯一解，稱爲恰定方程組
  • （2）當方程個數小於未知數個數，即m< n時，線性方程組有無窮多個可能的解，稱爲欠定方程組。
  • （3）當有效方程個數（線性無關的方程個數）大於未知數個數時（一般m>n都對應這種情況），線性方程組肯定沒有精確解，稱爲超定方程組。
• 線性方程組的MATLAB求解
  • 高斯消元法
    • 求解線性方程組可以通過高斯消元法，即將擴展矩陣[A b]通過行方向的線性運算變形爲[D nb]形式，其中D和A尺寸相同且其最左上部分是一個單位矩陣。
    • （1）對於恰定方程組，D是和A同尺寸的單位矩陣，此時方程組的解的每一個分量可以通過X（i）=nb（i）/D（i，i）計算得到。
    • （2）對於欠定方程組，D的左上部是一個比A小的k*k的單位矩陣，這時候把i>k的X(i)置爲0，i<=k的X(i)就可以通過X(i)=nb(i)/D(i,i)計算得到。
    • （3）對於超定方程組，高斯消元后只能看出該方程組沒有解。
  • 矩陣除法求解
    • 求解線性方程組最簡單的辦法是用矩陣的除法。AX=b的解可以由X=A\b得到，XA =b的解可以由X=b/A得到，注意，這裏應用左除和右除對應的方程組形式的不同。
    • 矩陣除法求解線性方程組，不會返回方程組類型的信息，即無論哪種類型的方程組，MATLAB矩陣除法都會返回一個計算結果。對於恰定方程組，這個結果就是其唯一解；對於欠定方程組，此結果是其一個特解；對於超定方程組，計算結果是方程組最小二乘意義上的解。
  • 矩陣求逆求解
    • 求解線性方程組也可以通過逆矩陣的方法。對於方程組A*X=b：
    • （1）當A是方陣時，X=inv(A)*b。
    • （2）當A不是方陣時，X=pinv(A)*b。
• 特殊矩陣
  • 特殊矩陣生成函數
    
  • 稀疏矩陣
    • 在通常情況下，MATLAB中順序存儲普通矩陣的各個元素。但在有些應用領域，矩陣中零元素非常多，在龐大的矩陣中只有非常有限的非零元素，這時候如果還用順序存儲方式，會耗費很多不必要的內存空間，而且對於矩陣運算、處理也帶來了不必要的複雜性。針對這種情況，MATLAB中可以採用稀疏矩陣提高存儲、運算效率。
    • MATLAB存儲稀疏矩陣時，只存儲矩陣中的非零元素及其位置索引。這對於大規模的零元素居多的數組存儲是非常高效的。
    • MATLAB通過3個數組來存儲一個m行n列的稀疏矩陣的信息。
      • 第一個數組是浮點類型，存儲了稀疏矩陣中所有非零元素的值（例如k個）。
      • 第二個數組是整型，存儲了這k個非零元素的行索引。
      • 第三個數組是整型，存儲了原來的m行n列元素中每一列第一個非零元素在前兩個數組中的位置，以及第n列最後一個非零元素在前兩個數組中的位置。
  • 稀疏矩陣的創建
    • MATLAB中可以通過sparse函數把普通矩陣轉換成稀疏矩陣，也可以通過full函數把稀疏矩陣轉換爲對應的普通矩陣。
  • 稀疏矩陣函數