[AT165E]Rotation Matching

題目

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思路

你看，其實每個人都會把 $[1,n]$ 的所有編號拿一遍。所以，下面這句話就是順理成章的：場地上的兩個數字的差不能重複。

譬如，假設一個場地上是 $(a,a+\Delta)$ 而另一個是 $(b,b+\Delta)$ ，那麼某兩個編號相差 $\Delta$ 的人就會在這兩個場地上都比賽。

類似的，二者的差可能不是正數。意即：一個人拿 $a+\Delta$ 而另一個人拿 $a$ ，二者的編號差也可能是 $a-(a+\Delta)=-\Delta\equiv n-\Delta\pmod{n}$ ，因爲編號會自動取模 $n$ 。當然，這種情況會在兩個差值（大減小）的和爲 $n$ 時出現。

我們可以用集合來表示所有的差值。當 $n$ 爲奇數時，很好找到這樣的差值 $\left\{1,3,5,\dots,n-2\right\}$

題面保證了 $2m+1\le n$ 即 $m\le\frac{n-1}{2}$ ，故數量足夠。任意兩者的和爲奇數+奇數=偶數，不可能等於 $n$ 。能夠構造出來嗎？使用 俄羅斯套娃 ！

可以使用 $(1,n-1),(2,n-2),(3,n-3),\dots,\left(\frac{n-1}{2},\frac{n+1}{2}\right)$ 。

至於 $n$ 爲偶數的情況，就得動點小心思。我們可以寫出這樣的差值 $\left\{x\middle|\frac{x}{2}\in\Z,x<\frac{n}{2}\right\}\bigcup\left\{x\middle|\frac{x-1}{2}\in\Z,x>\frac{n}{2}\right\}$

個數有多少個？可以分類討論 $n/2$ 的奇偶性。在 $n/2$ 爲奇數時，大小爲 $(\frac{n}{4}-\frac{1}{2})+(\frac{n}{4}-\frac{1}{2})=\frac{n}{2}-1$ ，顯然夠用；在 $n/2$ 爲偶數時，大小爲 $(\frac{n}{4}-1)+(\frac{n}{4})=\frac{n}{2}-1$ ，仍然夠用。

相加會不會得到 $n$ 呢？因爲 $n$ 是偶數，所以只能是奇數+奇數，或者偶數+偶數。但是奇數都小於 $\frac{n}{2}$ ，和必然小於 $n$ ；偶數都大於 $\frac{n}{2}$ ，和必定大於 $n$ ，故方案可行。

怎麼構造呢？仍然使用俄羅斯套娃。小於 $\frac{n}{2}$ 的在最內層，更大的在外層繼續套上去。

代碼

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main(){
	int n, m;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	if(n%2 == 1){
		int l = 1, r = n-1;
		for(int i=1; i<=m; ++i)
			printf("%d %d\n",l++,r--);
	}
	else if(n%2 == 0){
		int l = n/2, r = n/2+1;
		for(int i=1; i<=m; ++i){
			printf("%d %d\n",l--,r++);
			if((r-l)%2 and r-l >= n/2)
				++ r;
		}
	}
	return 0;
}