[AT165E]Rotation Matching

题目

传送门 to AtCoder

思路

你看，其实每个人都会把 $[1,n]$ 的所有编号拿一遍。所以，下面这句话就是顺理成章的：场地上的两个数字的差不能重复。

譬如，假设一个场地上是 $(a,a+\Delta)$ 而另一个是 $(b,b+\Delta)$ ，那么某两个编号相差 $\Delta$ 的人就会在这两个场地上都比赛。

类似的，二者的差可能不是正数。意即：一个人拿 $a+\Delta$ 而另一个人拿 $a$ ，二者的编号差也可能是 $a-(a+\Delta)=-\Delta\equiv n-\Delta\pmod{n}$ ，因为编号会自动取模 $n$ 。当然，这种情况会在两个差值（大减小）的和为 $n$ 时出现。

我们可以用集合来表示所有的差值。当 $n$ 为奇数时，很好找到这样的差值 $\left\{1,3,5,\dots,n-2\right\}$

题面保证了 $2m+1\le n$ 即 $m\le\frac{n-1}{2}$ ，故数量足够。任意两者的和为奇数+奇数=偶数，不可能等于 $n$ 。能够构造出来吗？使用 俄罗斯套娃 ！

可以使用 $(1,n-1),(2,n-2),(3,n-3),\dots,\left(\frac{n-1}{2},\frac{n+1}{2}\right)$ 。

至于 $n$ 为偶数的情况，就得动点小心思。我们可以写出这样的差值 $\left\{x\middle|\frac{x}{2}\in\Z,x<\frac{n}{2}\right\}\bigcup\left\{x\middle|\frac{x-1}{2}\in\Z,x>\frac{n}{2}\right\}$

个数有多少个？可以分类讨论 $n/2$ 的奇偶性。在 $n/2$ 为奇数时，大小为 $(\frac{n}{4}-\frac{1}{2})+(\frac{n}{4}-\frac{1}{2})=\frac{n}{2}-1$ ，显然够用；在 $n/2$ 为偶数时，大小为 $(\frac{n}{4}-1)+(\frac{n}{4})=\frac{n}{2}-1$ ，仍然够用。

相加会不会得到 $n$ 呢？因为 $n$ 是偶数，所以只能是奇数+奇数，或者偶数+偶数。但是奇数都小于 $\frac{n}{2}$ ，和必然小于 $n$ ；偶数都大于 $\frac{n}{2}$ ，和必定大于 $n$ ，故方案可行。

怎么构造呢？仍然使用俄罗斯套娃。小于 $\frac{n}{2}$ 的在最内层，更大的在外层继续套上去。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main(){
	int n, m;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	if(n%2 == 1){
		int l = 1, r = n-1;
		for(int i=1; i<=m; ++i)
			printf("%d %d\n",l++,r--);
	}
	else if(n%2 == 0){
		int l = n/2, r = n/2+1;
		for(int i=1; i<=m; ++i){
			printf("%d %d\n",l--,r++);
			if((r-l)%2 and r-l >= n/2)
				++ r;
		}
	}
	return 0;
}