leetcode *983. 最低票價

【題目】*983. 最低票價

在一個火車旅行很受歡迎的國度，你提前一年計劃了一些火車旅行。在接下來的一年裏，你要旅行的日子將以一個名爲 days 的數組給出。每一項是一個從 1 到 365 的整數。
火車票有三種不同的銷售方式：
一張爲期一天的通行證售價爲 costs[0] 美元；
一張爲期七天的通行證售價爲 costs[1] 美元；
一張爲期三十天的通行證售價爲 costs[2] 美元。
通行證允許數天無限制的旅行。 例如，如果我們在第 2 天獲得一張爲期 7 天的通行證，那麼我們可以連着旅行 7 天：第 2 天、第 3 天、第 4 天、第 5 天、第 6 天、第 7 天和第 8 天。
返回你想要完成在給定的列表 days 中列出的每一天的旅行所需要的最低消費。

示例 1：

輸入：days = [1,4,6,7,8,20], costs = [2,7,15]
輸出：11
解釋： 
例如，這裏有一種購買通行證的方法，可以讓你完成你的旅行計劃：
在第 1 天，你花了 costs[0] = $2 買了一張爲期 1 天的通行證，它將在第 1 天生效。
在第 3 天，你花了 costs[1] = $7 買了一張爲期 7 天的通行證，它將在第 3, 4, ..., 9 天生效。
在第 20 天，你花了 costs[0] = $2 買了一張爲期 1 天的通行證，它將在第 20 天生效。
你總共花了 $11，並完成了你計劃的每一天旅行。

示例 2：

輸入：days = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,30,31], costs = [2,7,15]
輸出：17
解釋：
例如，這裏有一種購買通行證的方法，可以讓你完成你的旅行計劃： 
在第 1 天，你花了 costs[2] = $15 買了一張爲期 30 天的通行證，它將在第 1, 2, ..., 30 天生效。
在第 31 天，你花了 costs[0] = $2 買了一張爲期 1 天的通行證，它將在第 31 天生效。 
你總共花了 $17，並完成了你計劃的每一天旅行。

提示：
1 <= days.length <= 365
1 <= days[i] <= 365
days 按順序嚴格遞增
costs.length == 3
1 <= costs[i] <= 1000

【解題思路1】記憶化搜索（日期變量型）

如果這一天不是必須出行的日期，那我們可以貪心地選擇不買。這是因爲如果今天不用出行，那麼也不必購買通行證，並且通行證越晚買越好。所以有 dp(i)=dp(i+1)；

如果這一天是必須出行的日期，我們可以選擇買 1，7 或 30 天的通行證。若我們購買了 j 天的通行證，那麼接下來的 j - 1 天，我們都不再需要購買通行證，只需要考慮第 i + j 天及以後即可。因此，我們有
dp(i)=min{cost(j)+dp(i+j)},j∈{1,7,30}

class Solution {
    int[] costs;
    Integer[] memo;
    Set<Integer> dayset;

    public int mincostTickets(int[] days, int[] costs) {
        this.costs = costs;
        memo = new Integer[366];
        dayset = new HashSet();
        for (int d: days) {
            dayset.add(d);
        }
        return dp(1);
    }

    public int dp(int i) {
        if (i > 365) {
            return 0;
        }
        if (memo[i] != null) {
            return memo[i];
        }
        if (dayset.contains(i)) {
            memo[i] = Math.min(Math.min(dp(i + 1) + costs[0], dp(i + 7) + costs[1]), dp(i + 30) + costs[2]);
        }
        else {
            memo[i] = dp(i + 1);
        }
        return memo[i];
    }
}

【解題思路2】記憶化搜索（窗口變量型）

dp(i) 表示能夠完成從第 days[i] 天到最後的旅行計劃的最小花費
令 j1 是滿足days[j1]>=days[i]+1 的最小下標，j7是滿足days[j7]>=days[i]+7 的最小下標， j30是滿足 days[j30]>=days[i]+30 的最小下標，那麼就有：

class Solution {
    int[] days, costs;
    Integer[] memo;
    int[] durations = new int[]{1, 7, 30};

    public int mincostTickets(int[] days, int[] costs) {
        this.days = days;
        this.costs = costs;
        memo = new Integer[days.length];
        return dp(0);
    }

    public int dp(int i) {
        if (i >= days.length) {
            return 0;
        }
        if (memo[i] != null) {
            return memo[i];
        }
        memo[i] = Integer.MAX_VALUE;
        int j = i;
        for (int k = 0; k < 3; ++k) {
            while (j < days.length && days[j] < days[i] + durations[k]) {
                j++;
            }
            memo[i] = Math.min(memo[i], dp(j) + costs[k]);
        }
        return memo[i];
    }
}