zr 2020 0504 T3 and 0505 T2【神奇排序題 (構造)】

0504 T3：

題目描述：

$n\le15000,m\le30$

題目分析：

因爲這個題只需要在限制次數內排好，而不要求最小次數，所以我們要通過上面這個方式構造出一個可行解。
記每個數字 $i$ 對應上面的位置爲 $rank[i]$。爲了方便理解，我們先用比較簡單的情況$n=8$舉例：
待排序的序列爲：$0~3~5~1~2~4~7~6$
我們想要把它排成：$0~4~2~6~1~5~3~7$，這樣只需要將$1~3$放到前面，$2~4$放到後面就排好了。
我們求出每個數字在想要的排列中對應的$rank$數組：$0~3~2~1~1~2~3~0$ （對於奇數，用$7$減去原本的$rank$，後面會解釋）
首先將偶數放到前面，奇數放到後面，$s[1\sim n]=0$，得到：$0~2~4~6~3~5~1~7$
然後按照$rank$的二進制表示從低位到高位基數排序：
第一輪：
對於$rank[i]>>0\&1$的$i$，則$s[i]=1$，否則$s[i]=0$。並把對應的偶數放到後面，奇數放到前面。
要移動的偶數爲$4~6$，要移動的奇數爲$1~3$。得到：$0~2~3~1~4~5~6~7$
然後將偶數放到前面，奇數放到後面，得到：$0~2~4~6~3~1~5~7$
這一輪的效果是：偶數奇數已經分別按照最終rank的二進制第0位有小到大排好了！
第二輪：
對於$rank[i]>>1\&1$的$i$，則$s[i]=1$，否則$s[i]=0$。並把對應的偶數放到後面，奇數放到前面。
要移動的偶數爲$2~6$，要移動的偶數爲$1~5$。得到：$0~1~4~5~3~2~6~7$
然後將偶數放到前面，奇數放到後面，得到：$0~4~2~6~1~5~3~7$

然後就發現已經得到我們想要的排列了！
這樣做的原理是：對於偶數$rank[i]>>j\&1$的 $i$ 我們將它放到右邊，然後再按順序放回來，相當於就是基數排序。並且可以解釋爲什麼上面要令7減去奇數的$rank$，這樣原來爲0的就會被放到左邊。
這裏有一個細節，就是必須要保證每次奇偶rank對應位等於1的個數是相同的，並且$rank$數組的求得也有點講究（要使的最後能一步排好），總共有$4$種情況分類討論，可以列舉$n=7,8,9,10$來看一看。

二進制位總共是$\log n$位，最開始要奇偶分開，最後加1步，總共$1+13*2+1=28$步。
基數排序真是太強辣！

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 15005
using namespace std;
int T,n,m,rk[maxn],a[maxn];
void put(string s,bool t){
	printf("%d %s\n",t,s.c_str());
	vector<int>x[2];
	for(int i=0;i<n;i++) if(s[i]=='1') x[(a[i]&1)^t].push_back(a[i]);
	x[0].insert(x[0].end(),x[1].begin(),x[1].end());
	for(int i=0,j=0;i<n;i++) if(s[i]=='1') a[i]=x[0][j++];
}
int main()
{
	for(scanf("%d",&T);T--;){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
		puts("28");
		int k=(n+1)/2,x=0;
		for(int j=0;x<k;j+=2,x+=2) rk[x]=j;
		for(int j=1;x<n;x+=2,j+=2) rk[x]=j;
		x=(n|1)-2;
		for(int j= n&1 ? 2 : 0; x>=k ; j+=2,x-=2) rk[x]=j;
		for(int j=1;x>0;j+=2,x-=2) rk[x]=j;
		put(string(n,'1'),0);
		for(int i=0;i<13;i++){
			string s(n,'0');
			for(int j=0;j<n;j++) if(rk[a[j]]>>i&1) s[j]='1';
			put(s,1);
			put(string(n,'1'),0);
		}
		string s(n,'0');
		for(int i=0;i<n;i++) if(a[i]!=i) s[i]='1';
		put(s,1);
	}
}

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0505 T2

題目描述：

$n\le5*10^4$

題目分析：

模仿上面的做法，很容易讓人想到基數排序，但是這道題要求最少的操作次數，subtask一下基數排序就會獲得0分的好成績（比如我）。

首先我們要證明答案的下界，然後構造達到這個下界的操作方法。

令$q=p^{-1}$，即$q[p[i]]=i$，把$q$中極長的連續、遞增的區間稱之爲一段。考慮任意兩段的最後一個數$x,y$，我們可以證明它們的操作序列不同（在某一輪中$w[x]\neq w[y]$）。
使用反證法，若$q_x>q_y$那麼最後$x$在$y$之後顯然不行。若$q_x<q_y$則存在$x<z<y$使得$q_x>q_z$，此時無論怎麼操作$z$都不能變到$x$和$y$之間。得證
假設存在$k$段，則至少存在$k$種不同的操作序列，如果答案爲$ans$，則$2^{ans}\ge k$，這給出了答案的下界$\lceil\log_2 k\rceil$。
爲了構造得到這個下界，每次操作中把段從左到右編號（從$1$開始），並選出所有奇數段放到偶數段之
前，這樣第 $2i-1$ 段和第 $i$ 段合併，於是段數變爲$\lceil\frac k2\rceil$，不斷這麼做就構造完了。具體實現時在第$i$輪選擇所在段的二進制減1後第$i$位爲0的數令它的$w=1$即可，可以看出操作次數恰爲$\lceil\log_2 k\rceil$。

Code（stable_partition表示將一個序列中布爾表達式爲0的數放到左邊，爲1的放到右邊，並且同一邊的不改變原來的相對位置）：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 50005
using namespace std;
int n,T,a[maxn],q[maxn],id[maxn],ans,d;
bool cmp(int i){return (id[i]>>d&1)==0;}
void write(){for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d%c",a[i],i==n?10:32);}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&T);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),q[a[i]]=i;
	int k=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=q[i]>q[i-1]?k:++k;
	for(ans=0;1<<ans<=k;ans++);
	printf("%d\n",ans);
	if(T){
		write();
		for(d=0;d<ans;d++) stable_partition(a+1,a+1+n,cmp),write();
	}
}