LeetCode刷題——279. 完全平方數

題目

給定正整數 n，找到若干個完全平方數（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它們的和等於 n。你需要讓組成和的完全平方數的個數最少。

示例 1:

	輸入: n = 12
	輸出: 3 
	解釋: 12 = 4 + 4 + 4.
示例 2:

	輸入: n = 13
	輸出: 2
	解釋: 13 = 4 + 9.

來源：力扣（LeetCode）
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares

思路

這個題目和整數拆分類似，也是需要分割整數，不過要求不同。

與整數拆分一樣，我們先來看一個簡單的數字12。自頂向下的考慮問題，畫出它的遞歸樹。

這裏主要畫了9+1+1+1=12 和 4+4+4=12這兩個路徑。這裏的遞歸終止條件是遇到了完全平方數(1,4,9…)。 雖然這裏沒有畫出重疊子問題，但是顯然是存在的，比如左邊求解3和最右邊的求解3(省略了，沒畫出來)。

基於此就可以開始實現遞歸版的代碼了。

代碼

遞歸

import math
class Solution:
    # 返回次數
    def num(self,n):
        # 遞歸終止條件，任何完全平方數都可以。如果對開根號的結果取整後等於取整前，說明是一個完全平方數。
        if math.sqrt(n) == int(math.sqrt(n)):
            return 1 # 返回次數1
        cur_min = n  # 當前最小次數，初始化爲n

		# 從int(math.sqrt(n))到1進行拆分
        for i in range(int(math.sqrt(n)), 0, -1):
        	# 遞歸計算不同平方數的拆分次數，並找到最小的
            cur_min = min(1 + self.num(n - (i ** 2)), cur_min)
        return cur_min

    def numSquares(self, n: int) -> int:
        return self.num(n)

代碼很簡單，來看下結果吧。

下面改成記憶化搜索的方式。

記憶化搜索

dp = {1:1}

class Solution(object):
    # 返回次數
    def num(self,n):
        # 遞歸返回條件，任何完全平方數都可以
        if n not in dp:
            if math.sqrt(n) == int(math.sqrt(n)):
                dp[n] = 1
                return 1

            cur_min = n  # 當前最小次數

            for i in range(int(math.sqrt(n)), 0, -1):
                cur_min = min(1 + self.num(n - (i ** 2)), cur_min)
            dp[n] = cur_min

        return dp[n]

    def numSquares(self, n):
        return self.num(n)

和遞歸的代碼差不多，增加了一個dp字典來保存之前計算過的值。

此時代碼就能通過了，最後改成動態規劃。

動態規劃

動態規劃的寫法和整數拆分類似。

class Solution(object):
    def numSquares(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        # #dp[0]表示剛好分割結束，此時不佔用分割次數。
        dp = [0] + [1] + [n] * (n-1)
        # 從2到n
        for i in range(2,n+1):
        	#  依次計算dp[i]
            for j in range(int(math.sqrt(i)), 0, -1):
                dp[i] = min(1 + dp[i - (j ** 2)], dp[i])
        return dp[n]

第一次看到這個結果以爲代碼哪裏寫錯了，然後去看了一下官方解析。改成了以下寫法：

class Solution(object):
    def numSquares(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        # 先計算出所有可能的平方數
        square_nums = [i**2 for i in range(0, int(math.sqrt(n))+1)]
        
        dp = [float('inf')] * (n+1) #初始化
        # bottom case
        dp[0] = 0
        
        for i in range(1, n+1):
            for square in square_nums:
                if i < square: #如果i - square < 0則終止
                    break
                dp[i] = min(dp[i], dp[i-square] + 1)
        
        return dp[-1]

這樣確實快了一點，但還沒有記憶化搜索快。

而且在Python3中都通不過，但是可以充分說明了動態規劃的自底向上的思路是怎樣的。