控制教程 —— 介紹篇：6.狀態空間控制器設計

在本教程中，我們將展示如何使用狀態空間(或時域)的方法設計控制器和觀測器。
本教程中使用的主要MATLAB命令爲：eig，ss，lsim，place，acker。

形式

有幾種不同的方法來描述線性微分方程組，在"控制教程 —— 介紹篇：1.建模"部分中介紹了狀態空間描述。對於SISO LTI系統，狀態空間形式如下：
$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x} + Bu$$y = C\mathbf{x} + Du$其中 $\mathbf{x}$表示系統狀態變量的 n x 1 向量，$u$表示輸入的量，$y$表示輸出的量。矩陣 $A$ (n x n)，$B$ (n x 1) 和 $C$ (1 x n) 確定狀態變量與輸入和輸出之間的關係。一共有 n 個一階微分方程。狀態空間描述形式也可以用於具有多輸入和多輸出(MIMO)的系統，這裏主要關注單輸入單輸出(SISO)系統。
爲了介紹狀態空間控制設計方法，我們將以磁懸浮球爲例。流過線圈的電流回產生磁力，該磁力可以平衡重力，並使球(由磁性材料製成)懸浮在空中。該系統的建模已在許多控制教科書中描述(包括B.C.Kuo撰寫的《Automatic Control Systems》，第七版)。

補充參考建模方法：



也可以參考：傳送門
其中 $h$ 是球的垂直位置，$i$ 是通過電磁鐵的電流，$V$ 是施加的電壓，$m$ 是球的質量，$g$ 是重力加速度，$L$ 是電感，$R$ 是電阻，$K$ 是施加在球上的磁力系統。爲簡單起見，我們將選擇 $m=0.05kg$，$K=0.0001$，$L=0.01H$，$R=1\Omega$，$g=9.8m/s^2$，當 $h=Ki^2/mg$ (此時 $dh/dt = 0$)時，系統處於平衡狀態(球懸浮在空中)，如$h=0.01m$ 時，電流約爲 $7A$，這樣可以的到狀態方程
$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x} + Bu$$y = C\mathbf{x} + Du$其中
$x = \left[{\begin{array}{c} \Delta h \\ \Delta \dot{h} \\ \Delta i \end{array}}\right]$是系統狀態變量的集合(3x1向量)，$u$ 是輸入電壓，與平衡位置的偏差爲$\Delta V$，$y$是輸出高度，與平衡位置的偏差爲$\Delta h$，可以建立個係數：

A = [ 0   1   0
     980  0  -2.8
      0   0  -100 ];

B = [ 0
      0
      100 ];

C = [ 1 0 0 ];

穩定性

我們要做的第一件事就是分析開環系統(沒有任何控制的情況下)的穩定性。如控制教程 —— 介紹篇：2.系統分析介紹的，根據系統矩陣 $A$ 的特徵值(等於傳遞函數的極點)來確定穩定性。 $A$ 矩陣的特徵值是$\det(sI-A)=0$關於 $s$ 的解。

poles = eig(A)

從結果可以看出，有一個極點在右半平面，這意味着開環系統不穩定。
要觀察初始狀態爲非零時，該不穩定系統的表現，可以運行一下命令：

t = 0:0.01:2;
u = zeros(size(t));
x0 = [0.01 0 0];

sys = ss(A,B,C,0);

[y,t,x] = lsim(sys,u,t,x0);
plot(t,y)
title('Open-Loop Response to Non-Zero Initial Condition')
xlabel('Time (sec)')
ylabel('Ball Position (m)')

從圖中可以看出球與電磁鐵之間的距離回達到無窮大，但一般會掉落到桌子或者地板上。

可控性和可觀性

如果始終存在一個控制輸入 $u(t)$，該輸入可以在有限時間內將系統的任何狀態轉換爲任何其他狀態，則該系統是可控的。可以證明，當且僅當LTI系統的可控矩陣 $\mathcal{C}$ 具有滿秩時(例如 rank($\mathcal{C}=n$)，n 是狀態變量個數)。可以使用命令rank(ctrb(A,B))或rank(ctrb(sys))。
$\mathcal{C} = [B\ AB\ A^2B\ \cdots \ A^{n-1}B]$當系統存在無法直接測量狀態時，必須使用可用的系統輸出來估計未知部分的狀態值。如果能基於系統輸入 $u(t)$ 和系統輸出 $y(t)$ 的信息確定初始狀態 $x(t_0)$，那麼在一定的時間間隔 $t_0<t<t_f$ 系統可觀測。對於LTI系統，當且僅當可觀測矩陣 $\mathcal{O}$ 滿秩(例如 rank($\mathcal{O})=n$，n 是狀態變量個數)，則系統可觀測。LTI模型的可觀測性可以在MATLAB使用命令rank(obsv(A,C))或者rank(obsv(sys))確定。
$\mathcal{O} = \left[ \begin{array}{c} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{array} \right]$可控性和可觀性是雙重概念，當且僅當系統 $(A',B')$ 是可觀測的，系統 $(A,B)$ 纔是可控的。例如下面我們將看到的

使用極點配置設計控制器

使用極點配置來構建一個控制器，全狀態反饋系統的示意圖如下所示，所謂全狀態，是指控制器始終知道多有狀態變量。對於上面的系統，我們需要一個傳感器來測量球的位置，另一個傳感器來測量球的速度，還需要一個傳感器來測量電磁鐵中的電流。

爲了簡單，假設參考給定爲0，$r$ = 0，則輸入爲
$u = -K\mathbf{x}$此時，閉環反饋系統的狀態空間方程爲：
$\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B(-K\mathbf{x}) = (A-BK)\mathbf{x}$$y = C\mathbf{x}$閉環反饋系統的穩定性和時域特性主要取決於矩陣特徵值($A-BK$)的位置，該特徵值等於閉環極點。由於矩陣 $A$ 和 $B$ 均爲 3x3，因此係統將有3個極點。通過選擇適當的狀態反饋增益矩陣 $K$，我們可以將這些閉環極點放置在我們想要的任何位置(因爲系統是可控的)。我們可以使用MATLAB的place命令來根據閉環極點找到狀態反饋增益 $K$ 。
在嘗試該方法之前，我們必須確定要在哪裏放置閉環極點。假設控制器的標準是穩定時間<0.5s，超調<5%，那麼我們可以嘗試將兩個主導極點放置在 -10±10i (在 $\zeta$ = 0.7 或 45 度下，有 $\sigma$ = 10 > 4.6*2)。我們可以將第三個極點放在 -50處 (這樣它不會對響應產生太大的影響)，我們可以稍後根據閉環行爲的結果來調整它。輸入如下命令

p1 = -10 + 10i;
p2 = -10 - 10i;
p3 = -50;

K = place(A,B,[p1 p2 p3]);
sys_cl = ss(A-B*K,B,C,0);

lsim(sys_cl,u,t,x0);
xlabel('Time (sec)')
ylabel('Ball Position (m)')

可以看到超調量太大(傳遞函數中存在零點，這將增加超調量，在狀態空間中看不出明確的零點)。這裏，嘗試將兩個極點移至更左側，以查看瞬態響應是否有改善。

p1 = -20 + 20i;
p2 = -20 - 20i;
p3 = -100;

K = place(A,B,[p1 p2 p3]);
sys_cl = ss(A-B*K,B,C,0);

lsim(sys_cl,u,t,x0);
xlabel('Time (sec)')
ylabel('Ball Position (m)')

這次過沖減小，比較兩中情況下所需的控制量 ($u$)，通常，將極點移動到越遠，所需的控制量越大。
注意，如果要在同一個位置放置兩個或多個極點，則place將失效，您可以使用名爲acker函數，該函數可以實現相同的目標。

K = acker(A,B,[p1 p2 p3])

介紹參考給定

現在，我們將採用定義的控制系統並應用一個輸入步長(我們爲步長選擇一個較小的值，因此可以在有效範圍內保持線性化)。

t = 0:0.01:2;
u = 0.001*ones(size(t));

sys_cl = ss(A-B*K,B,C,0);

lsim(sys_cl,u,t);
xlabel('Time (sec)')
ylabel('Ball Position (m)')
axis([0 2 -4E-6 0])

系統根本無法很好地跟蹤，並且球的位置是負值而不是正。
回顧之前的示意圖，我們沒有將輸入和參考輸入進行比較；相反，我們測量所有狀態，乘以增益矢量 $K$，然後從參考給定中減去該結果。這樣不會使期望 $K\mathbf{x}$。爲了消除該問題，我們可以縮放參考輸入，使其在穩態下等於 $K\mathbf{x}$。下圖顯示了比例因子 $\overline{N}$。

我們可以在MATLAB中使用rscale來計算 $\overline{N}$（將以下命令放在K=…之後），該功能在新的版本MATLAB中已經沒有，可以從這裏下載。並保存在工作空間運行。

Nbar = rscale(sys,K)

lsim(sys_cl,Nbar*u,t)
title('Linear Simulation Results (with Nbar)')
xlabel('Time (sec)')
ylabel('Ball Position (m)')
axis([0 2 0 1.2*10^-3])

現在階躍響應可以很好地跟蹤指令了。

觀測器設計

當我們無法測量所有狀態變量 $\mathbf{x}$ 時，我們可以構建一個觀測器來估計它們，並僅測量輸出 $y=C\mathbf{x}$，對於懸浮球示例，我們將向系統添加三個新的估計狀態變量 $\hat{\mathbf{x}}$。

觀測器基本上是被控對象的複製，它具有相同的輸入和幾乎相同的微分方程，一個額外的項將實際測量的輸出 $y$ 與估計的輸出 $\hat{y} = C\hat{\mathbf{x}}$ 進行比較；這將有助於校正估計狀態 $\hat{\mathbf{x}}$ ，並使它接近實際狀態 $\mathbf{x}$ 的值(如果測量結果的誤差很小)。
$\dot{\hat{\mathbf{x}}} = A\hat{\mathbf{x}} + Bu + L(y - \hat{y})$$\hat{y} = C\hat{\mathbf{x}}$觀測器的誤差表現由 $A-LC$的極點決定。
$\dot{\mathbf{e}} = \dot{\mathbf{x}} - \dot{\hat{\mathbf{x}}} = (A - LC)\mathbf{e}$首先，我們需要選擇觀測器增益 $L$，由於我們希望觀測器的動力學比系統本身快得多，因此我們需要將極點放置在距離系統主極點左側至少5倍的位置。如果要使用place，則需要將三個觀測極點放在不同位置。

op1 = -100;
op2 = -101;
op3 = -102;

由於可控性和可觀性之間的對偶性，我們可以使用相同的技術來找到可控性矩陣，方法是將矩陣 $B$ 替換成矩陣 $C$ ，然後對每個矩陣進行轉置

L = place(A',C',[op1 op2 op3])';

給出上面框圖中的方程式，用於估算 $\hat{\mathbf{x}}$，並引入$\mathbf{e}=\mathbf{x}-\hat{\mathbf{x}}$。我們將估計狀態用於反饋 $u=-K\hat{\mathbf{x}}$，因此並非所有狀態變量都需要測量。

At = [ A-B*K             B*K
       zeros(size(A))    A-L*C ];

Bt = [    B*Nbar
       zeros(size(B)) ];

Ct = [ C    zeros(size(C)) ];

首先，查看當參考輸入爲零的系統響應，$\mathbf{e}=\mathbf{x}$

sys = ss(At,Bt,Ct,0);
lsim(sys,zeros(size(t)),t,[x0 x0]);

title('Linear Simulation Results (with observer)')
xlabel('Time (sec)')
ylabel('Ball Position (m)')

當通過 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{e}$ 來獲得 $\hat{\mathbf{x}}$ 時，$\hat{\mathbf{x}} = \mathbf{x} - \mathbf{e}$

t = 0:1E-6:0.1;
x0 = [0.01 0.5 -5];
[y,t,x] = lsim(sys,zeros(size(t)),t,[x0 x0]);

n = 3;
e = x(:,n+1:end);
x = x(:,1:n);
x_est = x - e;

% Save state variables explicitly to aid in plotting
h = x(:,1); h_dot = x(:,2); i = x(:,3);
h_est = x_est(:,1); h_dot_est = x_est(:,2); i_est = x_est(:,3);

plot(t,h,'-r',t,h_est,':r',t,h_dot,'-b',t,h_dot_est,':b',t,i,'-g',t,i_est,':g')
legend('h','h_{est}','hdot','hdot_{est}','i','i_{est}')
xlabel('Time (sec)')

從上面我們可以看到，觀測器的估計迅速收斂到實際狀態變量，並在穩態下很好地跟蹤狀態變量。