數電4_5——其他常見的組合邏輯電路

1. 加法器

1.1 一位加法器

1.1.1 半加器

• 半加器：是隻考慮兩個1位二進制數相加，不考慮低位的進位
• 真值表
  
  備註：CO爲進位
• 邏輯表達式
  $S = A'B+AB'=A\oplus B$
  $CO=AB$
• 電路與邏輯符號
  

1.1.2 全加器

• 全加器，全加器除了考慮加數和被加數外，還要考慮低位的進位
• 真值表
  
• 邏輯表達式
  $S = A'B'CI +A'BCI'+AB'CI'+ABCI$
  $=(A'B'+AB)CI+(A'B+AB')CI'$
  $=((A'B'+AB)')'CI+(A'B+AB')CI'$
  $=((A'B')'(AB)')'CI+(A'B+AB')CI'$
  $=((A+B)(A'+B'))'CI+(A'B+AB')CI'$
  $=(A'B+AB')'CI+(A'B+AB')CI'$
  $=A\oplus B\oplus CI$
  (老師課件採用的是取零取反，我覺得那樣做的好處是可以更加方便的運用反演律，不用想我這樣兩次取反）
  $CO=(A'B'+B'CI'+A'CI')'$
  $=(A+B)(B+CI)(A+CI)$
  $=(AB+B+BCI+ACI)(A+CI)$
  $=AB+(A+B)CI$
  【老師課件上這裏應該出錯了】
• 電路與邏輯符號
  

1.2 多位加法器

1.2.1 串行進位加法器

串行進位加法器（行波進位加法器）: 兩個多位二進制數相加，必須利用全加器，1位二進制數相加用1個全加器，n 位二進制數相加用n個全加器。只要將低位的進位輸出接到高位的進位輸入

下圖爲四位全加器

爲各位相加後的和。

• 優點：結構簡單
• 缺點：運算速度慢
  邏輯表達式爲：
  $(CI)_{i}=(CO)_{i-1}$
  $S_{i}=A\oplus B\oplus (CI)_{i}$
  $(CO)_{i}=A_{i}B_{i}+(A_{i}+B_{i})CI_{i}$

1.2.2 超前進位加法器

超前進位加法器，爲了提高速度，若使進位信號不逐級傳遞，而是運算開始時，即可得到各位的進位信號，採用這個原理構成的加法器，就是超前進位（CarryLook－ahead）加法器，也成快速進位（Fast carry） 加法器

• 由全加器真值表可知，高位的進位信號的產生是在兩種情況下：①在A·B＝1；②在A＋B＝1且C I＝1。故向高位的進位信號爲$(CO)_{i}=A_{i}B_{i}+(A_{i}+B_{i})CI_{i}$
• 設$G_{i} ＝A_{i} B_{ i}$ 爲進位生成函數，$P_{ i} ＝ A_{ i} ＋ B_{ i}$ 爲進位傳遞函數，則上式可寫成
  
• 和爲：
  $S_{i}=A\oplus B\oplus (CI)_{i}$

下圖爲超前四位加法器

• 邏輯圖符號如下：
  
  $A_{ 3 }-A_{ 0}$ 爲一個四位二進制數的輸入；$B_{ 3} -B_{ 0}$ 爲另一個二進制數的輸入；$CI$爲最低位的進位；$CO$是最高位的進位；$S_{ 3} -S_{ 0}$
• 優點：提升了運算數度
• 缺點：增加了電路複雜性，位數越多，電路越複雜

1.3 用加法器設計組合邏輯電路

如果能將要產生的邏輯函數能化成輸入變量與輸入變量相加，或者輸入變量與常量相加，則用加法器實現這樣邏輯功能的電路常常是比較簡單

例一

利用4位超前進位加法器74LS283 器件組成的電路如圖所示，試分析電路所能完成邏輯功能

分析可知，$D_{7}$以及$D_{7}$與$D_{6}-D_{0}$的異或作爲兩片的兩個加數，其他兩個加數取0

• 當$Y_{ 7} ＝0$時，74LS283(1)：$A 3 ＝0,A 2 ＝D 6 ，A 1=D 5 ，A 0＝D 4$，74LS283(2)：$A 3 ＝D 3 , A 2 ＝D 2 ，A 1=D 1 ，A 0 ＝D 0 ， CI=0,$做加法後和爲$Y 7 ～Y 0 =0D 6...D 0$
• 當$Y 7 ＝1$時，74LS283(1)：$A 3 ＝1,A 2 ＝D'6$，$A 1 =D' 5 ,A 0 ＝D'4$ ，74LS283(2)：$A 3 ＝D' 3 , A 2 ＝D' 2 ，A 1 =D' 1 ，A 0 ＝D' 0 ，CI=1$,做加法後和爲 $Y7 ～Y 0 =1D'6 ~D'0 +1$

電路是一個帶符號位的二進制求補碼電路，$Y_{ 7}$ 爲符號位，輸入二進制數碼爲$D_{ 6} ...D_{ 0}$

例二

利用4位超前進位加法器74LS283器將BCD的8421碼轉換爲餘3碼

• 真值表
  
• 邏輯表達式
  $Y_{3}Y_{2}Y_{1}Y_{0}=DCBA+0011$
• 電路
  

2. 數值比較器

2.1 一位數值比較器

• 三種比較結果
  
• 電路圖
  

2.2 多位數值比較器

多位數值比較器：在比較兩個多位數的大小時，必須自高位向低位逐位比較

• 兩個4位二進制數比較的結果如下：
  
• 電路圖如下
  
  它有三個附加輸入端I (A<B) 、I (A＝B) 和I (A>B) 用於擴展（記得是低位的比較結果）
  
• 電路邏輯符號如下
  
• 輸出端邏輯表達式
  
• 拓展