1. 概述

用“1”和“0”表示邏輯，而不是大小。比如是否。（~~個人理解成中華傳統文化中的陰陽~~ ）
數字電路中，用邏輯代數表示開關、高低電平等，用邏輯函數來表示其輸入輸出的因果關係。
這個邏輯代數是喬治·布爾首先提出，所以也被叫做布爾數（bool）。

2. *三種基本運算（電路符號）及其組合

2.1 與或非

利用集合的關係，協助理解

運算	描述	符號	電路
與	1與1纔是1	A·B	串聯類比
或	有1就是1	A+B	並聯類比
非	陰陽轉換	A`，~A（或是上方加一橫）	短路開關類比

（備註：與或符號對應乘加挺有意思的，把1，0當成數值參與乘加運算的結果，大於1的都取1，結果和邏輯運算結果一樣）

下面是與或非門的邏輯符號與門或門技藝小技巧：或門像火箭

ps:注意非門小圓點

2.2 組合運算

與非，或非，與或非{這個組合運算比較簡,pass}

異或: 兩者不同爲1，符合交換結合分配律

同或：相同爲一，異或的非運算

3. 基本公式和常用公式

3.1 基本公式整理

3.1.1 變量與常量的關係公式：

$A·0 =0、A+0=A、A+1=A、A·1=A$
$A·A'=0、A+A'=1$ (這兩個也被稱爲互補律，因爲是一個變量與他的反變量的關係）
用途：通過常量與變量的關係可以引入變量，消去變量

3.1.2. 交換律與結合律

$A·B=B·A、A+B=B+A$
$A·B·C=A·(B·C)、A+B+C=A+(B+C)$

3.1.3. *分配律

$A·(B+C) =AB+AC$
$A+(BC) = (A+B)·(A+C)$ (這個比較容易想不到）

3.1.4. 重疊律

$A+A=A、A·A=A$

3.1.5. **摩根定律（反演律）：與或轉換

$(A·B)' = A'+B'、(A+B)' = A'·B'$
理解：個人覺得結合venn圖理解起來很方便
用途：與或門互換

ps：以上基本公式可以採用真值表推導，不過我個人藉助venn圖理解，感覺可以。

3.2 常用公式整理

常用公式是在基本公式的基礎上推導而出

3.2.1. 吸收律(在分配律，和常量變量的關係推導下得到）

$A+AB = A(1+B)=A$
應用理解：多餘的項可刪掉
$A(A+B) = AA+AB =A+AB = A$
應用理解：在當一項和包含這一項的和項相乘時，其和項可以消掉
$A+A'B=(A+A')(A+B)=A+B$
應用理解：這個公式中自己的反因子多餘，可刪掉

3.2. 2. 其他常用公式

$AB+A'C+BC=AB+A'C+BC(A'+A)=AB+A'C$
應用理解：在三個乘積項相加時，如果前兩項中的一個因子互爲反，那麼剩餘的因子組成的另一項則是多餘的，可以刪掉；
$AB+A'C+BCD=AB+A'C+BCD(A'+A)=AB+A'C$
$A(AB)'=(AA')+(AB')=AB'$
應用理解：如果某項和包含這一項的乘積項取反相乘時，則這一項可以刪掉
$A'(AB)'=A'+A'B'=A'$
應用理解：當某個項取反和包含這一項的乘積項取反相乘時，則只保留這個取反項

出錯的地方：

$A'B'=(AB)'$ 非運算的優先級更高
優先級：括號>非>與>或

關鍵是找到和代數運算的異同點，易錯點,然後公式還是要結合電路圖來看:

我覺得那個分配律就得注意一下
反演律也要注意

4. 基本定理

4.1 代入定理

描述：任何一個含有A變量的等式，將裏面的A全部換成同一個邏輯函數G，那麼等式仍然成立
理解：A無非0,1兩種可能，G也無非0,1兩種可能，0,1會使之成立，所以G也會
用途：將單雙變量的公式，推導到多變量

例子：反演律推廣
$(AB)'=A'+B'$
$(GB)'=G'+B',G=AC$
$(ACB)'=(AC)'+B=A'+C'+B'$
$(ABC)'=A'+B'+C'$

4.2 *反演定理求反函數

描述：與或互換，變量和常量都取反，運算順序不能改變，多變量取反的“非”不能變，可以得到邏輯函數的反函數

例子：求 $Y=A(B+C)+CD$ 的 $Y'$
$Y'=(A'+B'C')(C'+D')=A'C'+A'D'+B'C'+B'C'D'=A'C'+A'D'+B'C'$

4.3 *對偶定理求對偶式

描述：與或互換，常量（0,1） 都取反，得到對偶式，（注意區別反演）
用途：對偶規則，如果兩個式子的對偶式相等，那麼這兩個式子相等，所以可以方便證明

例子：求 $Y=(A+B')(A+C·1)$ 的 $Y^{D}$
$Y^{D}=(AB‘)+A(C+0)$

5. 邏輯函數及其表示方法

定義：輸入邏輯二值，輸出也是邏輯二值
表示方式：真值表，邏輯代數式，邏輯圖，波形圖，卡諾圖，點陣圖

5.1 *轉換

由真值表寫邏輯函數式：
①找出真值表中使邏輯函數爲“1”的輸入變量的組合；
②對應每個輸出爲“1”變量組合關係爲與的關係，即乘積項，其中如圖輸入變量取值爲“1 ”的寫成原變量，輸入變量取值爲“0”的寫成反變量；
③將這些乘積項相加，即得到輸出的邏輯式
其他方式：略

5.2 *兩種邏輯的標準式

標準與或式和標準或與式

5.2.1 最小項和最大項

最小項
定義：n個變量的與式，每個以本身或本身的非出現一次
ps：n個的排列，原1反0序列對應的二進制數對應的十進制‘數作爲序號’
性質：所有最小項之和爲1，只有一組取值使某一個最小項爲1
最大項
定義：n個變量的或式，每個以本身或本身的非出現一次
ps：n個的排列，原0反1序列對應的二進制數對應的十進制‘數作爲序號’
性質：所有最大項之邏輯積爲0，只有一組取值使某一個最大項爲0
關係
最大項和最小項互爲求反

5.2.2 **兩種標準式

標準與或式
在n變量的邏輯函數中，若某一乘積項由於缺少一個變量不是最小項，則在這項中添加此變量與這個變量的反變量之和這一項，使之稱爲最小項，即利用公式 $A＋A’＝1$
標準或與式
在n變量的邏輯函數中，若某一和項由於缺少一個變量不是最大項，則在這項中加上此變量與這個變量的反變量之積這一項，即利用公式 $AA’＝0$ ，然後利用公式 $A＋BC＝（A＋B）（A＋C）$ 使之稱爲最大項
兩者的關係
利用反演定理：

例子：

5.2.3 通過真值表寫出標準式

• 標準與或式寫法：由真值表確定邏輯函數爲“1”的項作爲函數的最小項(乘積項）。若輸入變量取“1”，則寫成原變量；若輸入變量取值爲“0”，則寫成反變量。 不同的輸出“1”爲和的關係
• 標準或與式寫法：由真值表確定邏輯函數爲“0”的項作爲函數的最大項（和項）。若輸入變量取“1”，則寫成反變量；若輸入變量取值爲“0”，則寫成原變量。不同的輸出“0”爲積的關係
個人覺得學會一種，然後用上面的關係轉換即可

5.2.4 寫出某個函數的標準形式及其反函數

展開 $()'$ 這種形式要用反演律

預告：下節課準備研究邏輯函數的化簡

數電2_1——邏輯代數基礎

數電——邏輯代數基礎