SLAM中的座标变换

​  在SLAM经常需要谈论一件事情，就是座标系变换与座标变换，座标系变换和座标变换是不一样的，要注意区分两者的不同。在$n$维线性空间中，任意$n$个线性无关的向量都可取作它的基或座标系。但是对于不同的基或座标系，同一个向量的座标是不同的，下面讨论当基改变时，向量的座标是如何变化的。

一、基变换

设$\pmb x_{1}$，$\pmb x_{2}$，…，$\pmb x_{n}$是旧基，$\pmb y_{1}$，$\pmb y_{2}$，…，$\pmb y_{n}$是新基，则根据基的定义可以知道

或者形式的写成

其中矩阵$\pmb C$称作由旧基到新基的过渡矩阵，过渡矩阵代表了座标系变换或者基变换，可以证明过渡矩阵是非奇异矩阵。

二、座标变换

​  当我们知道了座标系的变换之后就可以求解座标变换的问题了，假设一个向量$\pmb p$在旧基下的座标为$(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{n})^T$，在新基下的座标为$(\eta_{1},\eta_{2},...,\eta_{n})^T$，那么有：
$\pmb p=\xi_{1}\pmb x_{1}+\xi_{2}\pmb x_{2}+...+\xi_{n}\pmb x_{n}=\eta_{1}\pmb y_{1}+\eta_{2}\pmb y_{2}+...+\eta_{n}\pmb y_{n}$
根据过渡矩阵，可以得到：
$(\eta_{1},\eta_{2},...,\eta_{n})^T = C^{-1}(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{n})^T$
上式即为同一向量在不同座标系下的座标变换，可以看到座标变换矩阵是基变换矩阵的逆。

三、旋转矩阵与平移向量

  在视觉SLAM中，相机运动属于刚体运动，而刚体运动可以分解为旋转和平移。当定义好了相机座标系后，相机座标系的旋转可以用旋转矩阵来表示，平移可以用平移向量来表示，注意，这里旋转矩阵和平移向量一般在世界座标系下的表达。假设相机座标系1经过旋转和平移变成了座标系2，将座标系1设为世界座标系，旋转矩阵为$\pmb R$，平移向量为$\pmb t$，某向量在座标系1中的座标为$\pmb a=(a_{1},a_{2},a_{3})^T$，在座标系2中的座标系为$\pmb b=(b_{1},b_{2},b_{3})^T$，则
$\pmb a=\pmb R\pmb b+\pmb t$
旋转矩阵是正交阵，自然也是非奇异矩阵。上述座标是用非齐次座标来表示的，如果改成齐次座标：$\pmb a^{'}=(a_{1},a_{2},a_{3},1)^T$和$\pmb b^{'}=(b_{1},b_{2},b_{3},1)^T$
则上式可以写成更简单的表达方式：
$\pmb a^{'}=\pmb T\pmb b^{'}$
其中

$\pmb T$称作变换矩阵(Transformation Matrix)，用于描述欧式变换。
那么旋转矩阵和基变换是什么关系呢？答：旋转矩阵就是基变换，但旋转矩阵和平移向量构成的变换不是基变换。

四、位姿

​  位姿在视觉SLAM中是指每一帧对应的相机座标系相对于世界座标系(或初始帧相机座标系)的刚体运动：即旋转矩阵和平移向量，故位姿是座标系的变换而非座标变换。有了每一帧的位姿，我们就可以得到相机的运动轨迹。