【Lintcode】402. Continuous Subarray Sum

題目地址：

https://www.lintcode.com/problem/continuous-subarray-sum/description

給定一個數組，求其最大和連續子列，返回區間起點和終點下標。若有若干不同區間和都是最大，則返回字典序最小的那兩個下標組合。

回顧最大和連續子列不需要返回端點下標，只需返回和，這一問題的做法。若以$f[i]$表示以$A[i]$結尾的連續子數組中的最大和，那麼顯然$f[i+1]=\max(f[i]+A[i+1],A[i+1])$這裏並不需要用一個數組來記錄$f[i]$，只需要用一個變量記錄即可，隨着遍歷數組更新之。此外我們需要時時記錄sum對應的區間兩端點，同時發現更大的和的時候，把這兩個端點更新到結果了即可。代碼如下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Solution {
    /*
     * @param A: An integer array
     * @return: A list of integers includes the index of the first number and the index of the last number
     */
    public List<Integer> continuousSubarraySum(int[] A) {
        // write your code here
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        
        if (A == null || A.length == 0) {
            return res;
        }
        res.add(0);
        res.add(0);
        // start和end維護當前sum對應區間的兩個端點，
        // sum維護以A[i]結尾的最大子區間的和，maxSum維護已經發現的最大子區間和
        int start = 0, end = 0;
        int sum = A[0], maxSum = A[0];
        for (int i = 1; i < A.length; i++) {
        	// sum >= 0說明以A[i]結尾的最大和要將前面的sum連上去；
        	// 否則說明以A[i]結尾的最大和的區間就是A[i]自己
        	// 注意，如果sum = 0則說明A[i]可以連上前面的區間也可以不連，但爲了字典序較小，應該選擇不連
        	// start和end時時刻刻維護sum對應區間的兩個端點
            if (sum >= 0) {
                sum += A[i];
                end = i;
            } else {
                sum = A[i];
                start = end = i;
            }
            
            // 發現更大的和，更新已發現的最大和並更新端點
            if (sum > maxSum) {
                maxSum = sum;
                res.set(0, start);
                res.set(1, end);
            }
        }
        
        return res;
    }
}

時間複雜度$O(n)$，空間$O(1)$。

關於爲什麼start和end維護了sum對應區間的兩個端點，可以由數學歸納法得到。此處省略證明。