控制教程 —— 介紹篇：9.基於Simulink爲火車系統設計PID控制器

上篇控制教程 —— 介紹篇：8.基於Simulink爲火車系統建模介紹瞭如何使用Simulink對火車系統進行數學建模，這篇教程將介紹如何在Simulink中爲建立好的火車系統設計控制器。

文章目錄

開環被控對象模型

回顧上節內容，我們建立了一個火車系統的數學模型。

假設火車沿直線方向運動，我們希望能對火車的牽引力進行控制，使其能夠平穩的啓動和停止，並能在穩態下以儘可能小的誤差跟蹤給定的恆定速度指令。

在Simulink中實現PID控制器

我們首先創建一個子系統來便於理解，刪除三個scope模塊和Singal Generator模塊，並用sink庫中的 out 模塊和 in 模塊替代，給相應的模塊編輯對應的標籤，“x1_dot” ，“x1”，“x2”以及“F”。

接下來，選中所有模塊(Ctrl+A)，然後右鍵單擊，在彈出的菜單中選擇Create Subsystem from Selection(Ctrl+G)。然後重新排列和標記後，可以得到如下模型

現在，我們可以向窗口中添加控制器，這裏我們使用PID控制器，該控制器可以從Continuous庫中拖出，將該模塊與火車子系統串聯放置，如下圖：

我們將控制器的輸出定義爲火車牽引力 “F”，雙擊PID Control模塊，我們首先將積分(I)增益設置爲0，並將比例§和微分(D)增益分別設置爲默認值1和0。接下來，從Math Operations庫中添加一個Sum模塊。雙擊該模塊，然後將List of signs修改爲|+-，我們希望控制的是火車頭的速度，這裏通過“x1_dot”信號上引出並連接到Sum模塊的負輸入端。Sum模塊的輸出將是火車頭速度的誤差，應連接到PID控制器的輸入端。調整模塊連接並添加標籤如下

接下來，從Source庫添加一個Signal Builder模塊作爲火車頭速度的給定。根據需求，我們想讓火車能夠平穩的加速並平穩的停下來，因此我們將給定速度升至 1m/s，然後再降到 0m/s。要生成這類信號，可以雙擊Signal Builder模塊，然後從模塊對話框頂部的 Axes 菜單中選擇 Change Time Range。將Max time設置爲 300s。接下來，將啓動階躍設置在10s，停止階躍設置在150s。這可以通過單擊信號圖的階躍位置(左右垂直線)，並將其拖動到需要的位置，或在窗口底部的T中輸入對應的時間。

再從Sink庫中拖一個Scope，並用他替換火車速度的 Out1模塊，重新添加標籤。

現在，我們準備運行仿真。

運行閉環模型仿真

在運行模型之前，我們需要對模型中使用的每個變量賦值，對於我們的模型，使用如下參數：

$M_1$ = 1 kg
$M_2$ = 0.5 kg
$k$ = 1 N/sec
$F$ = 1 N
$\mu$ = 0.02 sec/m
$g$ = 9.8 m/s^2

M1 = 1;
M2 = 0.5;
k  = 1;
F  = 1;
mu = 0.02;
g  = 9.8;

在MATLAB命令窗口中執行以上命令，接下來，需要設置仿真運行時間，爲了匹配Signal Builder模塊中時間範圍。可將仿真Stop Time設置爲300。現在，運行仿真並觀察 “x1_dot” 示波器的結果，從圖中可以看出，系統是穩定的。

由於我們只是用了比例環節，產生的穩態誤差並不能令人滿意，因此我們將展示如何重新設計控制器。首先將演示如何將Simulink中的模型提取到MATLAB中進行分析和設計，然後，我們將演示如何直接在Simulink中設計控制器。

將模型提取到MATLAB

Simulink控制器設計工具箱提供了將模型從Simulink提取到MATLAB工作空間的功能。這對於複雜的或非線性的仿真模型特別有效。對於離散時間(採樣)模型也非常有用。本示例中，讓我們提取火車子系統的連續時間模型。首先，我們需要確定要提取的模型的輸入和輸出。火車系統的輸入是牽引力 $F$ 。我們可以通過右鍵單擊標籤爲 F 信號並從菜單中選擇Linear Analysis Points > Open-loop Input。同樣，我們可以右鍵單擊標籤爲x1_dot的信號並從菜單中選擇Linear Anasis Point > Open-loop Output來確定系統的輸出。這些輸入和輸出現在將由小箭頭符號表示，如下圖所示。由於我們希望自己在沒有控制的情況下提取火車模型，因此我們需要進一步刪除反饋信號，否則我們將提取的是從 $F$ 到 $\dot{x}_1$ 的閉環模型。

現在，我們可以通過選擇APPS > Model Linearizer來打開Model Linearizer進行分析。
注：我使用的是MATLAB2020a，早期版本應該叫 Linear Analysis Tool

打開後的界面如下

該工具是將給定模型(可能是非線性)線性化成一個LTI對象，並允許您指定要線性化的工作點，由於我們的模型本來就是線性的，因此我們選擇工作點沒有作用，現在保持默認的“Model Initial Condition”，爲了生成線性化模型，可以選擇圖中的step按鈕，該按鈕由一個綠色三角形表示。

通過上述檢查，可以自動生成線性化模型的階躍響應。可以將該結果與上一篇博文介紹的階躍響應結果進行對比，可以看到是相同的。此外，線性化過程還生成了對應的linsys1對象。只需要將該對象從Linear Analysis Workspace拖動到MATLAB Workspace中，即可在MATLAB中使用該LTI模型。

提取該模型後，我們現在可以使用MATLAB提供的用於控制器設計的所有功能。例如，讓我們使用以下命令來得到閉環系統的零極點。

sys_cl = feedback(linsys1,1);
p = pole(sys_cl)
z = zero(sys_cl)

從結果中可以看到存在零極點在原點處抵消的情況，此外，其餘極點均具有負實部，這說明現在的模型閉環系統是穩定的，但零極點的分佈說明主導極點的阻尼不足，將產生振盪，這與我們閉環仿真的結果一致，也可以通過工具畫出零極點分佈圖。

接下來我們將設計一個新的控制器來抑制響應中的振盪。

Simulink中的控制器設計

我們可以使用自帶的GUI工具來對PID參數進行快速調整，雙擊模型中的PID控制器，然後選擇PID Tuner，但本教程我們打算使用Control System Designer進行控制器設計

打開後的界面如下

首先要做的是確定要調整的控制模塊，點擊添加模塊按鈕，然後從出現的窗口中選擇PID控制器模塊，如下所示，當然也可以選擇其他類型的模塊如傳遞函數，狀態空間等表示的控制器。選擇完成後在Edit Architecture窗口中選擇OK按鈕。

在進行控制器調整之前，我們必須確定要分析的閉環系統的輸入和輸出。這與我們將線性化模型提取到MATLAB中的方式類似。具體來說，右擊速度命令信號(Signal Builder的輸出)，然後從菜單中選擇Linear Analysis Points > Input Perturbation來作爲閉環系統的輸入，接下來右擊速度信號(x1_dot)，然後從菜單中選擇Linear Analysis Points > Output Measurement來作爲閉環系統的輸出。

現在我們已經確定了要調整的模塊以及我們的輸入和輸出信號，現在我們可以開始對控制器進行調參了。
選擇Tuning Methods按鈕，我們將選擇希望用於設計控制器的設計方式，在該示例中，我們將採用根軌跡方法，因此在Tuning Methods下選擇Root Locus Editor。

然後，我們可以獲取到該模型的根軌跡圖，該軌跡圖顯示了在比例控制下閉環系統的所有可能的閉環極點位置，從圖中可以看到所有環路增益都在左半平面，表明響應是穩定的。

如果我們想降低環路增益，則可以將閉環極點在左半平面進行移動來改變系統的表現。可以通過抓取粉紅色方塊標記的極點位置，向開環零點位置(用星號x標記)拖動來實現。

選定好增益後，我們可以選擇ANALYSIS下的New Plot並選擇New Step來檢查響應的閉環階躍響應。選擇New Input-Output Transfer Response並選擇對應的輸入輸出。

然後單擊繪製按鈕，從產生的閉環階躍響應中，我們可以看到響應是穩定的，但存在一些穩態誤差。

回顧一下，增加積分環節可以減小閉環系統穩態誤差。調用以下形式的PI控制器。
$C(s) = K_p + \frac{K_i}{s} = \frac{K_ps + K_i}{s}$
這個方程式表明要在系統中新增一個純積分極點和一個零點。我們可以在根軌跡圖中右鍵單擊，然後從出現的菜單中選擇Add Pole/Zero > Integrator來添加純積分極點，同樣，可以選擇Add Pole/Zero > Real Zero來新增一個實部零點，這樣添加的話需要自己手動拖動零極點位置到合適的位置，當然，也可以通過選擇Edit Compensator直接輸入要添加的零極點和位置，我們將採用這種方法，在打開的窗口中，添加一個在 -0.15的零點和一個純積分極點，並將環路增益配置在 0.05。

得到的根軌跡如圖

和之前一樣，可以獲得當前參數下的階躍響應。

現在，可以將新得到的參數更新到原來的PID控制器中，然後重新進行仿真。

總體而言，這種響應似乎可以達到我們想要火車能平穩的啓動和停止的目標，同時還需要保持最小的穩態誤差。