LOJ #6622. 「THUPC 2019」找樹 / findtree（矩陣樹定理+FWT+FMT）

找樹 題解
首先把這道題轉化爲計數題，即對於 $i\in [0, 2^W-1]$，統計權值爲 $i$ 的樹有多少種，答案就是最大的方案數非 $0$ 的 $i$。

接下來考慮怎麼計數。生成樹計數顯然是基爾霍夫矩陣，但同時考慮權值就很麻煩了。但是注意到，如果所有操作都是異或，那我們可以將矩陣中的每個權值集合進行 FWT，而 FWT 後數組（集合冪級數）中的每一位都獨立了，因此可以分每一位分別計算基爾霍夫矩陣去掉一行一列後的行列式，把行列式的答案組成一個新的數組（集合冪級數），將它 IFWT 後即可得到每一個權值對應的樹的方案數。而如果所有操作都是與或者或，都可以進行 FMT 來轉化成每一位的問題，從而這樣解決。

注意到 FWT 的本質是每一個二進制位分別 FFT（長度爲 2 的 FFT，變成 a[0] + a[1] 和 a[0] - a[1]），FMT 的本質是每一個二進制位分別前綴和，那我們可以將這兩種算法結合起來。如果某一位的操作符是異或，那麼我們就將這一位進行 FFT；如果某一位的操作符是與（或），就將這一位求後（前）綴和。這樣就轉化爲按（數組裏的）位獨立的問題了，從而可以按照上面的方法分別計算行列式，最後再拼起來，按照這樣的規則逆變換回去即可。

注意到我們只需要判斷 0 和非 0，取幾個質數在模意義下計算行列式即可。複雜度 $O((n+W)n^2 2^W )$。

正如上面官方題解所說的
FWT是$n$維長度爲$2$的DFT，根據卷積定理，那麼顯然可以只對某一位DFT而不影響別的位。
FMT是$n$維前綴和，這個東西顯然也可以只對某一位前綴和FMT而不影響別的位。