【数组】B066_NK_机器人跳跃问题（二分 / 递推）

一、Problem

机器人正在玩一个古老的基于DOS的游戏。游戏中有N+1座建筑——从0到N编号，从左到右排列。

编号为0的建筑高度为0个单位，编号为 i 的建筑高度为H(i)个单位。起初，机器人在编号为0的建筑处。每一步，它跳到下一个（右边）建筑。

假设机器人在第k个建筑，且它现在的能量值是E，下一步它将跳到第k+1个建筑。

如果H(k+1)>E，那么机器人就失去H(k+1)-E的能量值，否则它将得到E-H(k+1)的能量值。

游戏目标是到达第N个建筑，在这个过程中能量值不能为负数个单位。现在的问题是机器人至少以多少能量值开始游戏，才可以保证成功完成游戏？

输入格式

第一行输入整数N。

第二行是N个空格分隔的整数，H(1),H(2),…,H(N)代表建筑物的高度。

输出格式

输出一个整数，表示所需的最少单位的初始能量值上取整后的结果。

数据范围

1≤N,H(i)≤105,

输入样例1：
5
3 4 3 2 4
输出样例1：
4

二、Solution

方法一：二分

• 规则：
  • 如果 $E > h_i$，跳上柱子 $i$ 机器人获得 $E - h_i$ 能量
  • 如果 $E < h_i$，跳上柱子 $i$ 机器人失去 $E - h_i$ 能量
  • 总结 $E = E - (h_i - E) = 2 × E - h_i$
• 由题意得，某个区间 $[l, r]$ 一定存在一个值 e 可以让机器人安全跳到终点，且这个值 e 越大越保险，基于这点，我们可以用二分来枚举这个区间 $[l, r]$
• 怎么确定 r 呢？看数据范围…

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
	static class Solution {
	    int n, max = (int) 1e5 + 5, h[];
	    boolean check(int e) {
	        for (int i = 0; i < n; i++) {
	            e = 2 * e - h[i];
	            if (e >= max) return true;
	            if (e < 0)    return false;
	        }
	        return true;
	    }
		void init() {
			Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
			n = sc.nextInt();
		    h = new int[n];
		    for (int i = 0; i < n; i++) h[i] = sc.nextInt();
		    int l = 0, r = 100000;
		    while (l < r) {
		        int mid = l + r >>> 1;
		        if (check(mid)) r = mid;
		        else            l = mid + 1;
		    }
		    System.out.println(r);
		}
	}
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
		s.init();
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(log max)$，
• 空间复杂度：$O(1)$，