題解 P5022 【旅行】

小 Y 是一個愛好旅行的 OIer。她來到 X 國，打算將各個城市都玩一遍。

小Y瞭解到， X國的 $n$ 個城市之間有 $m$ 條雙向道路。每條雙向道路連接兩個城市。 不存在兩條連接同一對城市的道路，也不存在一條連接一個城市和它本身的道路。並且， 從任意一個城市出發，通過這些道路都可以到達任意一個其他城市。小 Y 只能通過這些 道路從一個城市前往另一個城市。

小 Y 的旅行方案是這樣的：任意選定一個城市作爲起點，然後從起點開始，每次可 以選擇一條與當前城市相連的道路，走向一個沒有去過的城市，或者沿着第一次訪問該 城市時經過的道路後退到上一個城市。當小 Y 回到起點時，她可以選擇結束這次旅行或 繼續旅行。需要注意的是，小 Y 要求在旅行方案中，每個城市都被訪問到。

爲了讓自己的旅行更有意義，小 Y 決定在每到達一個新的城市（包括起點）時，將 它的編號記錄下來。她知道這樣會形成一個長度爲 $n$ 的序列。她希望這個序列的字典序 最小，你能幫幫她嗎？ 對於兩個長度均爲 $n$ 的序列 $A$ 和 $B$，當且僅當存在一個正整數 $x$，滿足以下條件時， 我們說序列 $A$ 的字典序小於 $B$。

• 對於任意正整數 $1 ≤ i < x$，序列 $A$ 的第 $i$ 個元素 $A_i$ 和序列 $B$ 的第 $i$ 個元素 $B_i$ 相同。

• 序列 $A$ 的第 $x$ 個元素的值小於序列 $B$ 的第 $x$ 個元素的值。

前置知識：

• 強聯通分量

這道題數據範圍是關鍵。

首先，對於一棵樹，我們想求出字典序最優的方案肯定要每部都要儘量優。

比如：

這麼一棵樹，我們爲了讓字典序最優就得做些操作。

變成這個樣子：

我們把它轉換成代碼：

for(int i=n;i>=1;i--)sort(v[i].begin(),v[i].end());

求出字典序最優的方案自然也是水到渠成了

void dfs(int x,int fa,int y,int z){
	s.push_back(x);
	for(auto i:v[x])
		if(i!=fa&&(i!=y||x!=z)&&(i!=z||x!=y))dfs(i,x,y,z);
}

那麼對於基環樹怎麼辦呢？

比如這張圖：

怎麼辦呢？

我們發現肯定有一條邊是費的，再仔細想想，那條邊一定在換上面。

藍色線條上的就是環，我們怎麼去找環呢，可以使用 $\texttt{tarjan}$ 算法 去找環。

找環的話先得建圖

圖的話，我們可以進行一遍搜索

void work(int x,int fa){
	if(lk[x])return;
	lk[x]=true;
	for(auto i:v[x])
		if(i!=fa){
			E[x].push_back(i);
			work(i,x);
		}
}

這樣圖就建好了

$\texttt{tarjan}$ 的代碼我也放一下

void tarjan(int now){
	dfn[now]=low[now]=++dfscnt;
	sk[stop++]=now;
	for (auto i:E[now]){
		if(!dfn[i]){
			tarjan(i);
			low[now]=min(low[now],low[i]);
		}else if(!sccnum[i]){
			low[now]=min(low[now],dfn[i]);
		}
	}
	if(dfn[now]==low[now]){
		scccnt++;
		do{
			sccnum[sk[--stop]]=scccnt;
		}while(sk[stop]!=now);
	}
}

我們很容易地發現，環上的邊的兩個端點的 $sccnum$ 是相同的。

我們再去看看圖

框出來的是 $7$ 個強聯通分量，我們發現除了環部分的強聯通分量大小超過 $1$，其他強聯通分量的大小都 $= 1$。

所以，一條邊的 $2$ 個端點的 $sccnum$ 相同就表明這條邊一定是在鏈上面。

代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
int n,m,x[5010],y[5010];
vector<int>s,ans,v[5010],E[5010];
void dfs(int x,int fa,int y,int z){
	s.push_back(x);
	for(auto i:v[x])
		if(i!=fa&&(i!=y||x!=z)&&(i!=z||x!=y))dfs(i,x,y,z);
}
int sk[5010],stop,dfn[5010],low[5010],scccnt,sccnum[5010],dfscnt,lk[5010];
void tarjan(int now){
	dfn[now]=low[now]=++dfscnt;
	sk[stop++]=now;
	for (auto i:E[now]){
		if(!dfn[i]){
			tarjan(i);
			low[now]=min(low[now],low[i]);
		}else if(!sccnum[i]){
			low[now]=min(low[now],dfn[i]);
		}
	}
	if(dfn[now]==low[now]){
		scccnt++;
		do{
			sccnum[sk[--stop]]=scccnt;
		}while(sk[stop]!=now);
	}
}
void work(int x,int fa){
	if(lk[x])return;
	lk[x]=true;
	for(auto i:v[x])
		if(i!=fa){
			E[x].push_back(i);
			work(i,x);
		}
}
int main(){
	read(n);read(m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		read(x[i]);read(y[i]);
		v[x[i]].push_back(y[i]);
		v[y[i]].push_back(x[i]);
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)ans.push_back(i),sort(v[i].begin(),v[i].end());
	work(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!dfn[i])tarjan(i);
	if(m==n-1){
		dfs(1,0,0,0);
		ans=min(ans,s);
	}else{
		for(int i=1;i<=m;i++)	
			if(sccnum[x[i]]==sccnum[y[i]]){
				s.clear();
				dfs(1,0,x[i],y[i]);
				ans=min(ans,s);
			}
	}
	for(auto i:ans)cout<<i<<" ";
	return 0;
}