动态规划之发现重叠子问题 LeetCode 343 整数拆分

当遇到一个问题，想要使用动态规划的基础是发现重叠子问题

以LeetCode 343 整数拆分 这道题为例

题目

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

思路

我们解这道题，可以使用递归树

对于这棵递归树，显然有很多重叠的子问题

最优子结构：通过求子问题的最优解，可以获得原问题的最优解

对于一个问题来说，如果在递归结构中发现了很多重叠子问题，其实就可以使用动态规划了

 

解法1：递归

注意，当前数n可以将其分割成i*(n-i) 或者i*分割(n-i)的最大乘积

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
//递归解 
class Solution { 
public:
	
	//拆解n的最大乘积 
    int integerBreak(int n) {
		if(n==1) return 1; 
		if(n==2) return 1;
		//可以将n拆解为1---n-1 * 剩下数拆解的最大乘积 ,求其中结果最大值 
		int res = -1; 
		for(int i=1; i<n; i++) 
		{
			res = max3(res,i*(n-i), i*integerBreak(n-i));//注意，这边可以将n拆成i和n-i也需要考虑 
		} 
		return res; 
    }
    int max3(int a,int b, int c)
    {
    	return max(a,max(b,c));
    }
};
int main()
{
	cout<<Solution().integerBreak(28); 
	return 0;
}

解法2：记忆化搜索

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

//递归+记忆化搜索解 
class Solution { 
public:
	vector<int> memo;
	//拆解n的最大乘积 
	int Break(int n)
	{
		if(n==1) return 1; 
		if(n==2) return 1;
		//可以将n拆解为1---n-1 * 剩下数拆解的最大乘积 ,求其中结果最大值 
		if(memo[n]!=-1) return memo[n];
		int res = -1; 
		for(int i=1; i<n; i++) 
		{
			res = max3(res,i*(n-i), i*integerBreak(n-i));//注意，这边可以将n拆成i和n-i也需要考虑 
		} 
		memo[n]= res;
		return res; 
	}
	
    int integerBreak(int n) {
		memo = vector<int>(n+1,-1); 
		return Break(n);
    }
    int max3(int a,int b, int c)
    {
    	return max(a,max(b,c));
    }
};
int main()
{
	cout<<Solution().integerBreak(28); 
	return 0;
}

解法3：动态规划

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

//动态规划解 
class Solution { 
public:
    int integerBreak(int n) {
		vector<int> memo(n+1,-1); //memo[i]中存储拆分i的最大乘积 
		memo[1]=1;
		for(int i=2; i<=n; i++) 
		{
			for(int j=1; j<i; j++) //拆分i的所有可能性
			{
				memo[i] = max3(memo[i],j*(i-j),j*memo[i-j]);
			} 
		}
		return memo[n];
    }
    int max3(int a,int b, int c)
    {
    	return max(a,max(b,c));
    }
};
int main()
{
	return 0;
}