最長遞增子序列（Longest Increasing Subsequence）

定義

最長上升子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS），在計算機科學上是指一個序列中最長的單調遞增的子序列。

問題描述

給定一個長度爲 N 的數組，找出一個最長的單調自增子序列（不一定連續，但是順序不能亂）。例如：給定一個長度爲 5 的數組{5， 6， 1， 2， 8}，則其最長的單調遞增子序列爲 {5，6，8}，長度爲 3。

解法

動態規劃

時間複雜度

該方法的時間複雜度爲 。

實現過程

下面我們用一個實例來分析一下動態規劃求解 LIS 的整個過程。假設數組 A 的內容爲 {5, 6, 1, 2, 8}。

1、第一個元素直接設置 LIS 長度爲 1 即可。如下圖所示。

2、第二個元素 6 大於前面所有元素進行比較。5<6，則 LIS[1] = LIS[0]+1 = 2。如下圖所示。

3、第三個元素 1 和前面的所有元素進行比較。1<6，則 LIS 的長度可能爲 1；1<5，則 LIS 的長度可能爲 1；取最大值，LIS[2]=1 。如下圖所示。

4、第四個元素 2 和前面的所有元素進行比較。1<2，則 LIS 的長度可能爲 LIS[2]+1 = 2；6>2，則 LIS 的長度可能爲 1；5>2，則 LIS 的長度可能爲 1；取最大值，LIS[3]=2 。如下圖所示。

5、第五個元素 8 和前面的所有元素進行比較。2<8，則 LIS 的長度可能爲 LIS[3]+1 = 3；8>1，則 LIS 的長度可能爲 LIS[2]+1 = 2；8>6，則 LIS 的長度可能爲 LIS[1]+1 = 3；8>5，則 LIS 的長度可能爲 LIS[0]+1 = 2；取最大值，LIS[4]=3 。如下圖所示。

算法思路

設長度爲 N 的數組爲 {a0，a1, a2, ..., an-1)，則假定以 aj 結尾的數組序列的最長遞增子序列長度爲 LIS(j)，則 LIS(j) = {max(LIS(i))+1, i<j 且 a[i] < a[j] }。

二分查找

時間複雜度

該方法的時間複雜度爲 。

算法描述

我們可以引入一個新數組 maxV，該數組的特性爲：

長度爲 1 的遞增子序列最大元素的最小值爲 maxV[1]；

長度爲 2 的遞增子序列最大元素的最小值爲 maxV[2]；

…

長度爲 LIS[i] 的遞增子序列最大元素的最小值爲 maxV[LIS[i]]。

首先，證明 maxV[] 是遞增的，因此可以使用二分搜索。我們可以用數學歸納法即可證明：若前 k 個元素是遞增的，一定有 。

證明：假設不成立，則 maxV[k+1] < maxV[k]。

根據 maxV[k+1] 的定義，存在一個長度是 k+1 的 LIS，並且以 maxV[k+1] 爲最大元素。將上述子序列去掉最後一個元素maxV[k+1], 得到長度爲 k，且最大元素 < maxV[k+1] < maxV[k]。

這顯然與 maxV[k] 的定義矛盾。所以假設不成立。

實現過程

我們用一個實例來分析一下二分查找求解 LIS 的整個過程。假設數組 A 的內容爲 {5, 6, 1, 2, 8}。

我們用 LIS[i-1] 表示長度爲 i 的最長遞增子序列末尾的數據。

1、第一個元素直接加入到 LIS 數組中。LIS[0]=5，表示長度爲 1 的 LIS 數組最後一個元素是 5。如下圖所示。

2、第二個元素爲 6，因爲 6>LIS[0]，構成遞增，將數字 6 加入到 LIS 數組中，即 LIS[1]=6，表示長度爲 2 的 LIS 數組的末尾是 6。如下圖所示。

3、第三個元素爲 1，1<LIS[2]，因此前面一定有一個位置的數據可以換成 1，並且後面的遞增性質不會被破壞。因此我們使用二分查找在 LIS 數組中找到 1 的位置，我們知道 lower_bound 查找的位置爲 0。也就是說 LIS[0] 可以被替換爲 1。如下圖所示。

4、第四個元素爲 2，2<LIS[2]，因此前面一定有一個位置的數據可以換成 2，並且後面的遞增性質不會被破壞。因此我們使用二分查找在 LIS 數組中找到 2 的位置，我們知道 lower_bound 查找的位置爲 1。也就是說 LIS[1] 可以被替換爲 2。如下圖所示。

4、第五個元素爲 8，8>LIS[2]，構成遞增，將數字 8 加入到 LIS 數組中，即 LIS[2]=8，表示長度爲 3 的 LIS 數組的末尾是 8。如下圖所示。

這樣，我們完成了遍歷，這時候我們可以發現 LIS 數組的小標爲 2，表示我們要求解的 LIS 長度爲 3。

算法思路

將 array[i] 在當前的 maxV[] 數組中進行二分搜索，找到位置 k，maxV[k] < array[i] < maxV[k+1]。

將 array[i] 加入 maxV[] 數組。僅僅影響 maxV[k+1]  (maxV[k+1] = array[i]），而對其他的元素不產生影響。

參考實現

int LIS(int *a, int n) {
    if (n<=0) {
        return 0;
    }

    vector<int> maxV;
    maxV.push_back(a[0]);
    for(int i=1; i<n; ++i) {
        if (a[i] > *maxV.rbegin()) {
            maxV.push_back(a[i]);
        } else {
            *lower_bound(maxV.begin(), maxV.end(), a[i]) = a[i];
        } 
    }
    return maxV.size();
}