Codeforces Round #643 (Div. 2) C. Count Triangles-- 差分、前綴和

題意

給你 $A , B , C , D$
問有多少種方法構造出三角形$(X , Y , Z)$使得 $1≤A ≤ X ≤ B ≤ Y ≤ C ≤ Z ≤ D <= 10^5$

思路

組成三角形的條件是2邊之和大於第三邊，這裏因爲$X≤Y≤Z$
所以只需要$x+y>z$，所以我們只要知道了$x+y$的值之後，可以求出$z$的可行範圍，但分別枚舉$x，y$肯定會超時，我們換個思路，直接枚舉$x+y$或者說能得到$x+y=p$的$x,y$有多少對，顯然當$x=1時，B ≤ y ≤ C$,所以組成的$x+y$的值在$[1+B ,1+C]$區間，當$x=2時，B ≤ y ≤ C$,所以組成的$x+y$的值在$[2+B ,2+C]$區間,顯然這些區間重疊到一起之後，對於某個點p的取值就是構成$x+y=p的x,y$組合個數，然後這部分區間可以通過差分、前綴和求得$S[]$，此時得到的$S[i]$表示構成$x+y=i$的組合對數。然後我們枚舉$z$，對應當前$z，x+y>z$,所以答案就是$S[z+1] + S[z+2] + ..... + S[maxn-1]$ 然後這部分的區間值我們同樣可以用前綴和來維護，最後$S[maxn-1] - S[z]$就是答案。

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int man = 1e6+10;
#define IOS ios::sync_with_stdio(0)
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
ll sum[man];

int main() {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        //freopen("in.txt", "r", stdin);
        //freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    int a,b,c,d;
    cin >>a >> b >>c >> d;
    for(int i = a;i <= b;i++)sum[i+b]++,sum[i+c+1]--;//區間修改
    for(int i = 1;i < man;i++)sum[i]+=sum[i-1];//所有區間加1，重疊地方累加
    for(int i = 1;i < man;i++)sum[i]+=sum[i-1];//對x+y的數量求一個前綴和，O(1)得到答案
    ll ans = 0;
    for(int i = c;i <= d;i++){
        ans += sum[man-1] - sum[i];
    }    
    cout << ans << endl;
    return 0;
}