洛谷P1990 覆蓋牆壁：怎樣解決遞推問題？

題目見

P1990

遞推問題的關鍵是要找到前一次和後一次之間的關係。
只要找到這個關係（或者說，列出表達式），那麼問題已經得到了解決。

這個題目怎樣找到前一次呢？

• 首先 確定一列i。集中目光在這一列上。

• 由於有兩種不同的磚，我們要確定上一塊磚的類型

  • 條形磚
  • L形磚

• 條形磚可以有不同的方向：

  • 條形磚可以豎着放：那麼減掉一塊磚，對應的情況就是i-1列的完全情況。
  • 條形磚可以橫着放：只能放兩塊才能對應到上一個完全情況即i-2

• L形磚：

  • 如果將底邊對向大端，那麼會出現一個缺格。這個缺格將導致無法彌補的缺陷。即先前的完全情況加上這一塊磚後無論如何不能填滿。

  如圖綠色爲完全區域，紅色爲本次操作的磚塊。白色爲缺陷。
  

  • 所以L形磚只能將底邊朝向完全區。但這很快導致了新的問題。需要維護一種新的完全區域。即半滿型。圖示表現了我們的需求：

現在我們就來推導這個遞推關係:
我們在先前的全滿的基礎上可以加L形磚，與這個半滿的尾端兩相對應補成完整的一個2*3矩形，即可得到一個這個半滿數組的一個來源f(i-1)*1。但還有加條形磚的情況，且只能如圖放置：

我們又找到一個來源，即g(i-1)*1

• 所以我們又得出了關於新數組的遞推式：

g(i) = g(i-1) + f(i-1)

簡單地初始化如下：

#define N 1000000 + 10
int f[N] = {1, 1}, g[N] = {0, 1};

主函數如下：

int main()
{
    int n, mod = 10000;
    cin >> n;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        f[i] = (f[i-1] + f[i-2] + 2 * g[i-2]) % mod;
        g[i] = (g[i-1] + f[i-1]) % mod;
    }
    cout << f[n];
    return 0;
}

總結：
遞推問題要找到每一步的所有可能情況，然後求解來源。