地学计算方法/地统计学(5第五章 空间插值与克里格法）

5第五章 空间插值与克里格法

对自然各种属性的测量只能得到有限样本点的值，不可能对每个点都进行采样，然而我们总是想知道未测点的值，因此，就需要根据实测得到的离散数据，对未知点进行预测

想要获得上图，需要各种空间插值方法，大多数插值方法都可被看作是数据的加权平均数，有如下通用公式:
$Z^*(x_0)=\sum_{i=1}^N\lambda_iZ(x_i)$
如何分配权重是关键问题，多数空间插值方法只考虑到系统的或确定的变异，而没有考虑到其误差，地统计的克里格方法，不但能描述空间变异的分布特征，而且能够表达预测误差

5.1主要空间插值法介绍

确定性方法：基于实测数据的相似性程度或平滑程度，利用数学函数进行插值（如逆距离加权法）

地统计方法：利用实测数据的统计特性来量化其空间自相关程度，生产插值面并评价预测的不确定性

整体插值法：利用整个实测数据集来预测

局部插值法：在大面积的研究区域上选取较小的空间单元，利用预测点周围的临近样点来进行预测

精确性插值：实测点的预测值等于实测值

不精确插值：实测点的预测值不等于实测值

5.1.1空间整体插值法

1.全局多项式插值法(趋势面分析法):即用数学公式表达感兴趣区域上的一种渐变的趋势

平面:$f(x_i,y_i)=b_0+bx_i+b_2y_i$

曲面:$f(x_i,y_i)=b_0+b_1x_i+b_2y_i+b_3x_i^2+b_4y_i^2+b_5x_iy_i$

多项式中的参数系数往往用最小二乘法求解。但该方法是不精确的插值方法，很少有实测点刚好在生产的插值面上，而是或高或低于插值面，高低数值相加，之和近似为0。

什么地理属性适合用全局多项式插值法进行空间插值？

全局多项式插值法的插值结果往往呈条带状（左图），适合于描述那些呈明显趋势分布的属性，不适合描述那些空间分布波动较大（较破碎，右图）的自然属性

空间交互性的比较强造成空间连续性较强

2.变换函数插值法：根据一个或多个空间参量的经验方程进行整体空间插值，这种经验方程称为变换函数。即用与被预测属性相关的其他属性建立回归方程，进行空间预测
$z(x)=b_0+b_1p_1+b_2p_2+\varepsilon$
$b_0,b_1,b_2$为回归系数，$p_1,p_2$为独立空间变量，$z(x)$为被预测属性，是一种土壤景观定量模型算法

该方法对相关属性$p$有何要求

1.$p$与$z$之间显著相关性

2.$p$与$p$之间没有共线性

3.获取成本比$z$低

4.全区域覆盖

3.逆距离加权法(IDW)：利用被预测区域点周围的实测值来预测未采样点的值，实测点离预测点越近，则对插值的结果影响越大。

其中$Z^*(x_0)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iZ(x_i) , \lambda_i=d_{i0}^{-p}/\sum_{i=1}^{N}d_{i0}^{-p}$

p为实测值对预测值的影响级，若p=0，则每一个权重是一样的，预测值是所有实测值的平均值，当p增加时，相距较远的点的权重迅速减小，2最为常用(也叫逆距离导数加权法)

由于IDW方法只考虑距离进行权重分配，所以临近实测点的贡献往往很大，而造成空间分布的多点中心现象

讨论

IDW方法是否适用于三维空间或时空插值？为什么？举例说明

z轴与xy轴上变异程度相差很大，pm2.5在平面空间上连续较强，若第三维是时间上，则差距是比较大的，如果是时空维，还要考虑到距离变换的问题，例如土壤重金属离污染源距离成相关，会随地表径流深入到地下，影响深层次土壤污染，深入到地下，渗透速度与平面上的传播速度要小得多，渗透深度是1m左右，周边5km会造成重金属的累积，高程之间的差异，深度上的1m与平面上的1m是不一样的，变异程度，第三维上的变异程度与空间维度的变异程度是有很大差距的
如果非要进行IDW怎么办？
将时间上的距离与空间上的距离之间的变异程度量化到一个数量级，即分别考虑二者的变异程度，形成一个距离转换系数，将二者分别计算权重进行套合

4.局部多项式插值法（移动内插法）：多项式插值法将整个区域考虑成一个平面或曲面，而局部多项式插值法是在划定的领域内（窗口内）用其中的实测数据来拟合不同次数的多项式

5.克里格方法：和IDW一样，也是一种局部估计的加权平均，但是它对各实测点权重的确定是通过半方差分析获取的，可分为线性克里格法和非线性克里格法

总结:

克里格法实质上是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未采样点的区域化变量的取值进行线性无偏最优估计的一种方法，从数学角度讲就是一种对空间分布的数据求线性最优无偏内插估计量的一种方法。是根据待估样点有限领域内若干已测定的样点数据，在考虑样点形状、大小和空间相互位置关系，它们与待估样点相互空间位置关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对该待估样点进行的一种线性无偏最优估计

5.2线性预测克里格法

5.2.1普通克里格原理

普通克里格法：假定$Z(x)$是满足本征假设的一个随机过程，该随机过程有$n$个观测值$z(x_i)$，要预测未采样点$x_0$处的值，则线性预测值$Z*(x_0)$可以表示如下：
$Z^*(x_0)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iZ(x_i)$
Kriging是在使预测无偏并有最小方差的基础上，去确定最优的权重值，满足以下两个条件：

(1)无偏性条件：$E[Z^*(x_0)-Z(x_0)]=0$

(2)最优性条件：$var[{Z^*(x_0)-Z(x_0)}]=min$
$E\left[Z *\left(x_{0}\right)-Z\left(x_{0}\right)\right]=E\left[\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} z\left(x_{i}\right)-Z\left(x_{0}\right)\right]=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} E\left[Z\left(x_{i}\right)\right]-E\left[Z\left(x_{0}\right)\right]$
根据本征假设$E[Z(x_i)]=E[Z(x_0)]=m$

上式进一步表示为$\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} E\left[Z\left(x_{i}\right)\right]-E\left[Z\left(x_{0}\right)\right]=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} m-m=m\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}-1\right)=0$

因此满足以下条件:$\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1$

在二阶平稳假设条件下，协方差与变异函数有如下关系：$γ(h)=C(0)-C(h)$

普通克里格插值的条件如下：
1.在研究区域内，区域化变量$Z(x)$的增量的数学期望对任意$x$和$h$存在且等于0
$E[Z(x)-Z(x+h)]=0$
2.在研究区域内，区域化变量的增量[$Z(x)-Z(x+h)]$的方差对任意x和h存在且平稳
$\operatorname{Var}[Z(x)-Z(x+h)]=E\left[\{Z(x)-Z(x+h)\}^{2}\right]=2 r(h)$
在本证假设条件下
$\begin{array}{l} \operatorname{var}\left[Z^{*}\left(x_{0}\right)-Z\left(x_{0}\right)\right]=E\left[\left\{Z^ *\left(x_{0}\right)-Z\left(x_{0}\right)\right\}^{2}\right]=E\left[\left\{\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} z\left(x_{i}\right)-Z\left(x_{0}\right)\right\}^{2}\right] \\ =2 \sum_{i=0}^{n} \lambda_{i} \gamma\left(x_{i}, x_{0}\right)-\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \lambda_{i} \lambda_{j} \gamma\left(x_{i}, x_{j}\right) \end{array}$

另一种推导方法
$Var(Z^*(x)-Z(x_0))=Var(Z^*(x))-2Cov(Z^*(x),Z(x_0))+Var(-Z(x_0))$
有如下性质：当$X=\sum_{i=1}^nw_iZ(x_i)$,$Var(X)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_iC(x_i,x_j)w_j$,

因此$Var(Z^*(x))=Var(\sum_{i=1}^n\lambda_iZ(x_i))=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\lambda_i\lambda_jCov(Z(x_i),Z(x_j))$

$Var(X)=Cov(X,X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$,因此$Var(-Z(x_0))=Cov(Z(x_0),Z(x_0))$

有$Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z),Cov(cX,Y)=cCov(X,Y)$，因此有

$Cov(Z^*(x),Z(x_0))=Cov(\sum_{i=1}^n\lambda_iZ(x_i),Z(x_0))=\sum_{i=1}^n\lambda_iCov(Z(x_i),Z(x_0))$

因此上式等式可变为
$Var(Z^*(x)-Z(x_0))=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\lambda_i\lambda_jCov(Z(x_i),Z(x_j))-2\sum_{i=1}^n\lambda_iCov(Z(x_i),Z(x_0))\\+Cov(Z(x_0),Z(x_0))$
定义$C_{ij}=Cov(Z(x_i),Z(x_j))$

上式变为：
$Var(Z^*(x)-Z(x_0))=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\lambda_i\lambda_jC_{ij}-2\sum_{i=1}^n\lambda_iC_{i0}+C_{00}$
由于$γ(h)=C(0)-C(h)$，因此$C_{ij}=C(0)-\gamma_{ij}$

上式进一步变为
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\lambda_i\lambda_j(C_{00}-\gamma_{ij})-2\sum_{i=1}^n\lambda_i(C_{00}-\gamma_{i0})+C_{00}=2\sum_{i=1}^n\lambda_i\gamma_{i0}-\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\lambda_i\lambda_j\gamma_{ij}\\+C_{00}(1-2\sum_{i=1}^n\lambda_i+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\lambda_i\lambda_j)$
后面那一部分$C_{00}$处等于0

因此最终得到$2\sum_{i=1}^n\lambda_i\gamma_{i0}-\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\lambda_i\lambda_j\gamma_{ij}$

与上面证明相符合

根据方差最小原则，借助拉格朗日乘子，普通克里格的预测方程组为
$\left\{\begin{array}{l} \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1 \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \gamma\left(x_{i}, x_{j}\right)-\varphi\left(x_{0}\right)=\gamma\left(x_{j}, x_{0}\right) \end{array}\right.$
(注意是减去$\phi$，原因在后面说明)

老师ppt这里是$\phi(x_0)$,应该是表达的方式不一样

预测方差为
$\sigma^2(x_0)=\sum_{i=1}^n\lambda_i\gamma(x_i,x_0)+\phi\\ =\sum_{i=1}^n\lambda_i(C(0)-C(x_i,x_0))+\phi =\bar{C}(V, V)-\sum_{i=1}^{n} \lambda_{j} \bar{C}\left(x_{i} V\right)+\phi$
与后面计算实例相符合

计算表示如下:

克里格公式也可以用矩阵的形式表示，对点状克里格，有：(老师的ppt里这里是$\phi$)
$A \bullet\left[\begin{array}{l} \lambda \\ -\phi \end{array}\right]=B$
对应的矩阵如下：
$\left[\begin{array}{ccccc} \gamma\left(\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{1}\right) & \gamma\left(\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{2}\right) & \cdots & \gamma\left(\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{n}\right) & 1 \\ \gamma\left(\boldsymbol{x}_{2}, \boldsymbol{x}_{1}\right) & \gamma\left(\boldsymbol{x}_{2}, \boldsymbol{x}_{2}\right) & \cdots & \gamma\left(\boldsymbol{x}_{2}, x_{n}\right) & 1 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ \gamma\left(\boldsymbol{x}_{n}, \boldsymbol{x}_{1}\right) & \gamma\left(\boldsymbol{x}_{n}, \boldsymbol{x}_{2}\right) & \cdots & \gamma\left(\boldsymbol{x}_{n}, \boldsymbol{x}_{n}\right) & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{c} \lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \vdots \\ \lambda_{n} \\ -\phi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \gamma\left(\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{0}\right) \\ \gamma\left(\boldsymbol{x}_{2}, \boldsymbol{x}_{0}\right) \\ \vdots \\ \gamma\left(\boldsymbol{x}_{n}, \boldsymbol{x}_{0}\right) \\ 1 \end{array}\right]$
其中$A$是$x_0$周围的$n$个点距离矩阵并带入到变异函数中计算所得结果

$B$矩阵是预测位置与样点组成的矩阵带入到变异函数中计算结果

将克里格估值方程组中的$\gamma(h)=C(0)-C(h)$后，方程组变为
$\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \gamma\left(x_{i}, x_{j}\right)-\varphi\left(x_{0}\right)=\gamma\left(x_{j}, x_{0}\right) \\ C(0)-\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} C\left(x_{i}, x_{j}\right)-\varphi\left(x_{0}\right)=C(0)-C\left(x_{j}, x_{0}\right)\\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} C\left(x_{i}, x_{j}\right)+\varphi\left(x_{0}\right)=C\left(x_{j}, x_{0}\right)$
因此对应的克里格矩阵又变为：
$\left[\begin{array}{ccccc} C\left(\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{1}\right) & C\left(\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{2}\right) & \cdots & C\left(\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{n}\right) & 1 \\ C\left(\boldsymbol{x}_{2}, \boldsymbol{x}_{1}\right) & C\left(\boldsymbol{x}_{2}, \boldsymbol{x}_{2}\right) & \cdots & C\left(\boldsymbol{x}_{2}, x_{n}\right) & 1 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ C\left(\boldsymbol{x}_{n}, \boldsymbol{x}_{1}\right) & C\left(\boldsymbol{x}_{n}, \boldsymbol{x}_{2}\right) & \cdots & C\left(\boldsymbol{x}_{n}, \boldsymbol{x}_{n}\right) & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{c} \lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \vdots \\ \lambda_{n} \\ \phi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} C\left(\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{0}\right) \\ C\left(\boldsymbol{x}_{2}, \boldsymbol{x}_{0}\right) \\ \vdots \\ C\left(\boldsymbol{x}_{n}, \boldsymbol{x}_{0}\right) \\ 1 \end{array}\right]$
因此计算实例中均是用的如上协方差矩阵计算

证明参考链接：
https://xg1990.com/blog/archives/222

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8F%E6%96%B9%E5%B7%AE

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8F%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%87%BD%E6%95%B0

5.2.2普通克里格法实例一

在一个研究区域内，$Z(x)$是一个区域化变量，满足二阶平稳和本证假设，其协方差函数$C(h)$和变异函数二阶平稳假设存在。设变异函数是一个二维各向同性的球状模型，见图.球状模型的主要参数为则模型公式为

设研究区域内有一个未知点$x_0$,其邻域内有$x_1 ， x_2 ， x_3 ，x_4$已知观测点，其观测值分别为$Z(x_1 ),Z(x_2),Z(x_3),Z(x_4)$。目的是从已知四个点的观测值中去估计未知点$x_0$的值$Z(x_0)$，见图.设$Z(x_0)$的普通克里格线性估计量为

$\left[\begin{array}{l} \lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \\ \lambda_{4} \\ \mu \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lllll} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & 1 \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & 1 \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & 1 \\ C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]^{-1}\cdot\left[\begin{array}{c} C_{01} \\ C_{02} \\ C_{03} \\ C_{04} \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc} 22 & 9.84 & 1.22 & 4.98 & 1 \\ 9.84 & 22 & 2.32 & 0.28 & 1 \\ 1.22 & 2.32 & 22 & 0 & 1 \\ 4.98 & 0.28 & 0 & 22 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]^{-1}\cdot \left[\begin{array}{c} 12.66 \\ 4.98 \\ 1.72 \\ 9.84 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0.518 \\ 0.022 \\ 0.089 \\ 0.371 \\ 0.969 \end{array}\right]$

$Z_{0}^{\#}=0.518 Z\left(x_{1}\right)+0.022 Z\left(x_{2}\right)+0.089 Z\left(x_{3}\right)+0.371 Z\left(x_{4}\right)$

$\begin{array}{l} \sigma_{K}^{2}=\bar{C}(V, V)-\sum_{i=1}^{n} \lambda_{j} \bar{C}\left(x_{i} V\right)+\mu \\ =22-[(0.518)(12.66)+(0.022)(4.98)+(0.089)(1.72)+(0.371)(9.84)]+0.969 \\ =22-10.473+0.969 \\ =12.496 \end{array}$

当待插值点变换位置如下图

周围的点均没变，因此只需要修改$B$矩阵即可，这样可以节省计算过程，同时也是为什么特别强调野外实际取样设计应尽可能采用规则格网数据结构的重要原因

5.2.3不规则网络取样数据实例

在研究区域内，区域化变量$Z(x)$满足二阶平稳和本征假设，其协方差函数和变异函数存在，且均为各向同性的指数模型：
$\begin{array}{l} \gamma(h)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & h=0 \\ 10\left(1-\exp \left(\frac{-3 h}{10}\right)\right)& h>0 \end{array}\right. \\ C(h)=\left\{\begin{array}{ll}10 & h=0 \\ 10 \exp \left(\frac{-3 h}{10}\right)& h>0 \end{array}\right. \end{array}$
区域中位置点$x_0$，在其领域内有7个已知不规则分布的样点，每一个样点的座标，样点的观测值与位置点$x_0$的距离如表所示

计算过程：

$\lambda=\left[\begin{array}{l} \lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \\ \lambda_{4} \\ \lambda_{5} \\ \lambda_{6} \\ \lambda_{7} \\ \mu \end{array}\right]=\left[\begin{array}{llllllll} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} & C_{17} & 1 \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} & C_{27} & 1 \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} & C_{37} & 1 \\ C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} & C_{47} & 1 \\ C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} & C_{57} & 1 \\ C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} & C_{67} & 1 \\ C_{71} & C_{72} & C_{73} & C_{74} & C_{75} & C_{76} & C_{77} & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{c} C_{01} \\ C_{02} \\ C_{03} \\ C_{04} \\ C_{05} \\ C_{06} \\ C_{07} \\ 1 \end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccccccc} 10.00 & & & & & & & 1 \\ 5.11 & 10.00 & & & & & & 1 \\ 0.44 & 0.36 & 10.00 & & & & & 1 \\ 0.20 & 0.26 & 2.90 & 10.00 & & & & 1 \\ 0.49 & 0.91 & 0.20 & 0.24 & 10.00 & & & 1 \\ 0.26 & 0.49 & 0.11 & 0.15 & 5.11 & 10.00 & & 1 \\ 0.05 & 0.06 & 0.36 & 1.22 & 0.22 & 0.19 & 10.00 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{c} 2.61 \\ 3.39 \\ 0.89 \\ 0.58 \\ 1.34 \\ 0.68 \\ 0.18 \\ 1 \\\end{array}\right]$
未知点的$x_0$估计值：

$\begin{array}{l} Z_{0}^{*}=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} Z\left(x_{i}\right)=(0.173)(477)+(0.318)(696)+(0.129)(227)+ (0.086)(646)+(0.151)(606)+(0.057)(791)+(0.086)(783) \\ =592.7 \end{array}$

其克里格估计方差为：

$\begin{aligned} \sigma_{K}^{2}=& \bar{C}(V, V)-\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \bar{C}\left(x_{i}, V\right)+\mu \\ =& 10-[(0.173)(2.61)+(0.318)(3.39)+(0.129)(0.89)+(0.086)(0.58)+(0.151)(1.34)+(0.057)(0.68)+(0.086)(0.18)]+0.901 \\ =& 10-1.94+0.907 \\ =& 8.967 \end{aligned}$

5.2.4块段普通克里格

如果估计的不是$x_0$点，而是以$x_0$为中心快段的平均值，这时要用块段普通克里格法，由于与上例数据结构不变，因此，克里格矩阵不变，只是矩阵B变为:

$\left[\begin{array}{l} \bar{C}\left(x_{1} V\right) \\ \bar{C}\left(x_{2} V\right) \\ \bar{C}\left(x_{3} V\right) \\ \bar{C}\left(x_{4} V\right) \\ 1 \end{array}\right]$

其中$\bar{C}\left(x_{i}, V\right)=C_{0}+C-\frac{1}{V} \iint_{V} \gamma(\sqrt{\left(x_{i}-x\right)^{2}+\left(y_{i}-y\right)^{2}} d x d y$

$V$为块段面积，穷尽块状中每个位置，但积分经常很难解，因此，常常（1）将待估块段V离散化成若干点，计算已知样点与块段V内被离散化的若干个点之间的协方差函数$C(h)$或变异函数$r(h)$，最后求出平均数；（2）除了将待估块段V离散化外，如果已知样点也是一个小块段的支撑构成，将这块段也离散化成一只的若干点，计算点与点之间的协方差函数$C(h)$或变异函数$r(h)$

离散化是一个近似的方法，显然，离散化越多，得到的平均协方差函数值或变异函数值精度越高，但计算的工作量很大，因此，在离散化时，要考虑精度和工作量的平衡

5.2.5克里格性质及说明

在克里格方程组中，克里格矩阵只取决于已知样点的相对集合特征，而与待估样点或块段无关，因此，只要两个数据构型相同时，其克里格矩阵也相同。计算过程中，只需求一次逆矩阵，就可以得到另一个接的列矩阵，如果两个待估块段或样点的几个特征也相同，那么所得克里格权重系数的解得列矩阵也一定相同，鉴于这方面的原因，空间取样设计时应尽量保证数据构形的系统性和规则性。这样，就可将单独一个克里格方案在整个估计中重复使用

克里格估计量是一种线性、无偏最优估计量，而且可以给出估计的方差，它在已知样点上的估计等于样点值本身。因而它是真正的空间局部内插法，具有较高的可靠性。许多研究表明，克里格法的精度明显高于多边形法、三角形法、局部平均法和距离倒数平法加权法。

克里格权重系数的对称性

每个样点的权重系数分别为$k1,k2…k7$，当区域化变量Z(X)具有各向同性结构时，在圈中系数之间有$k2=k3,k4=k6.$这主要是因为样点$x2$与$x3，x4$与$x6$对待估点$x0$几何位置是对称的，因而它们之间的克里格权重系数也具有对称性。

从聚效应降低克里格权重系数

在上图中，即使区域化变量$Z(x)$是各向同性结构的，$x1$与$x5$对待估样点$x0$几何对称，也不能存在$k1=k5$，因为在样点$x5$附近还存在样点$x4,x6$和$x7$，这三个样点与$x5$丛聚在一起，而x1是单独的一个样点，计算克里格权重系数的结果使$k1>k5$。$x4,x5$和$x7$的丛聚作用降低了$x5$对待估样点$x0$的影响。而$x1$不存在丛聚效应。因此，在克里格估计中，不会由于一些样点丛聚在一起而增大其权重系数，这也正是克里格法估计的优点

屏蔽效应

当块金值很小或不存在时，已知样点的克里格权重系数的大小受屏蔽效应影响，如图，已知样点$x5$虽然与样点$x1$到待估样点$x0$的距离相等，但是$x1$的克里格权重系数$k1$确大于$x5$的权重系数$k5$，这主要是因为样点$x5$受$x4$的屏蔽效应影响

待估点$x0$附近有$x1,x2,……x12$，共12个已知样点，由数据构形可知，$x1,x2,x3,x4$与$x0$的几何位置对称且相等，$x5,x6…x12$与$x0$的几何位置也对称且相等。内圈的每个已知样点的克里格权重系数是$(1-k)/4$，外圈的克里格权重系数是$k/8$，总和为1，因此，内圈的权重系数明显大于外圈样点的权重系数，这是由于内圈样点屏蔽了外圈样点的缘故

屏蔽效应还与块金常数有很大关系，当块金常数增大时，屏蔽效应减弱，当为纯块金效应时，所有样点之间相互独立，协方差函数为0，变异函数等于外延方差，即基台值，则待估样点$x0$与周围任何已知样点的克里格权重系数均相同，此时屏蔽效应消失，任何一点上的克里格线性无偏最优估计量都是所有样点的算术平均值。

5.2.6理论模型对克里格估值的影响

• 尺度对克里格估值的影响

令$r_2(h)=0.5r_1(h)$

尺度变化后，屏蔽效应减弱，方差较小，精度提高，方差是一个相对误差，并不会提高精度

左右分别为$r_1(h),r_2(h)$，可以看到待估点方差变得小一些，

• 变程对克里格估计的影响

原球状模型变程为40，如果变为20，则新的球状模型为 $0.52(\frac{3}{2} \frac{h}{20}-\frac{1}{2}\frac{h^3}{20^3})$，则内圈样点的克里格权重系数增大，而外圈样点的克里格权重系数减小，增加了屏蔽效应，同时也增大了克里格估计方差，使估计的精度降低。变程较小，相当于穿过一个较小距离，就会超过基态值

• 块金效应对克里格估值影响

由变异函数性质可知，$r(\infty)=C_0+C=C(0)$ ，基台值相当样点之间自相关消失，相互独立时样本方差。对于一个已抽取的空间样本，其方差已确定，因此基台值=常数，当$C_0$增加时，供高要降低，当$C_0$增加到与样点独立时的方差时，$C=0$，此时基台值就是块金常数$C_0$，因此，块金常数$C_0$的增大，导致样点之间的相关性降低而独立性加大。

若把原来的球状模型块金值扩大一倍，即$C_0=0.34$，基台值不变

块金值变大后，降低了内圈样点的权重系数，增大了外圈样点的权重系数，而克里格方差也增大了近一倍，这说明块金效应增大可使屏蔽效应降低，显然，当$C_0=0.52$时，8个样点的克里格权重系数均为0.125，此时的块金效应相当于纯块金效应

• 理论模型的种类对克里格估计的影响

换成线性有基态值模型对比

与球状模型相比，线性有基台值模型的克里格估计结果汇总，内圈的权重系数减小，而外圈的权重系数增大，这与屏蔽效应一致

• 邻域内已知样本数量对克里格估计的影响

克里格估计量是根据待估点的邻域内已知样点数据进行的，采用多少已知样点数据估计才合适，没有一个固定的标准。但从统计估计的角度看，估计方差随着采样的样本数越多，而越小。当样本扩大到一定数量后，估计方差基本保持在某一数值附近。因此，当估计方差开始保持平稳时的样本数就可以作为确定邻域内已知样点数的指标，在这个范围内的样点数据称为有效样点数据

可以看出，当邻域内有效样本点的数量由4个增加到8个时，克里格估计方差基本保持不变，因此，在地统计学克里格估计中，一般多数采用4-8个领域内的有效数据，再扩大有效数据，会产生屏蔽效应，而且对克里格估计精度不起作用

讨论题

在三维或时空领域，如何确定最近的n个邻近点？时空领域：相隔100米1天近，还是相隔200米0天近？

其实就是找时空变异函数小的点，变异函数越小，时空距离就越近

5.2.7简单克里格

如果我们知道区域随机变量的平均值，那么我们可以利用这种先验知识通过简单克里格法来提高预测的精度，这种克里格预测方法仍然是线性加和，但将随机过程的平均值包括了进去，这种随机过程必须是二阶平稳的，预测公式为
$Z_{s k}^{*}\left(x_{0}\right)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} z\left(x_{i}\right)+\left(1-\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}\right) \mu$

权重公式计算：$\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \gamma\left(x_{i}, x_{j}\right)=\gamma\left(x_{0}, x_{j}\right)$

矩阵形式表示：$A\cdot \lambda=B$
$A=\left[\begin{array}{cccc} r\left(x_{1}, x_{1}\right) & r\left(x_{1}, x_{2}\right) & \dots & r\left(x_{1}, x_{n}\right) \\ r\left(x_{2}, x_{1}\right) & r\left(x_{2}, x_{2}\right) & \dots & r\left(x_{2}, x_{n}\right) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ r\left(x_{n}, x_{1}\right) & r\left(x_{n}, x_{2}\right) & \dots & r\left(x_{n}, x_{n}\right) \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{c} r\left(x_{1}, x_{0}\right) \\ r\left(x_{2}, x_{0}\right) \\ \dots \\ r\left(x_{n}, x_{0}\right) \end{array}\right] \quad \lambda=\left[\begin{array}{c} \lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \dots \\ \lambda_{n} \end{array}\right]$
预测方差为：$\sigma_{SK}^2(x_0)=\sum_{i=1}^n\lambda_ir(x_i,x_0)$

5.2.8协同克里格

协同克里格是利用两个变量之间的互相关性，用其中易于观测的变量对另一变量进行局部估计的方法。协同克里格法比普通克里格法能明显改进估计精度及采样效率。但在实际应用中，协同克里格法要求有一个已知的相关函数，这就需要在很多地点同时采样，测定二个函数间的相互关系。与相关函数一样，这种相互关系也受样本数目多少的影响

协同克里格法是建立在协同区域化变量理论基础上的，通过建立交叉协方差函数和交叉变异函数模型，然后用协同克里格法对未抽样点的变量进行估值

交叉协方差函数与变异函数

设点$x-x+h$分别测两个变量观测值$Z_k(x)、Z_{k'}(x)、Z_k(x+h)、Z_{k'}(x+h)$

交叉协方差函数：
$C_{K K}(h)=\frac{1}{N(h)} \sum_{i=1 \atop j=1}^{N(h)}\left[Z_{K^{*}}\left(x_{i}\right) Z_{K^{*}}\left(x_{i}+h\right)\right]\left[Z_{K}\left(x_{j}\right) Z_{K}\left(x_{i}+h\right)\right]-m_{K'} m_{K}$
$m_{K^{\prime}}=\frac{1}{N(h)} \sum_{i=1}^{N(h)}\left[Z_{K^{\prime}}\left(x_{i}\right)\right], m_{K}=\frac{1}{N(h)} \sum_{j=1}^{N(h)}\left[Z_{K}\left(x_{j}\right)\right]$

交叉变异函数:
$\gamma_{K^{\prime} K}(h)=\frac{1}{2 N(h)} \sum_{i=1 \atop j=1}^{N(h)}\left[Z_{K^{\prime}}\left(x_{i}\right)-Z_{K^{\prime}}\left(x_{i}+h\right)\right]\left[Z_{K}\left(x_{i}\right)-Z_{K}\left(x_{i}+h\right)\right]$
其实就是在普通克里格的情况下进行扩展，多了一个变量

后面更加详细推导见ppt

5.2.9指示克里格

在有的情况下，我们需要知道某区域化变量$Z(x)$在某地超过阈值$z$的概率

指示码：：仅有0和1两个值，即可表示某种物质存在和不存在，也可表示连续变量是否大于某个阈值
$\omega(x)=\left\{\begin{array}{l} 1, z(x) \leq z_{c} \\ 0 \end{array}\right.$
通过这种转换，某种程度上使预测结果更接近实际应用。如评价土壤重金属污染问题，通过设定合理的污染浓度阈值$z$，那么就可以将一个连续的随机变量$Z(x)$转化为一个指示函数，对这个指示函数而言，1表示没有受到污染，可以被接受，0表示受到污染，不能被接受，也可设置多个阈值。

通过转换后，将转换后的指示函数即离散点进行普通克里格插值，步骤相同，即可得到指示克里格结果，且范围在0-1之间，表示一个区域被污染的概率。

5.2.10回归克里格(RK)

普通克里格和回归克里格区别:

普通克里格（OK）过分依赖样点数据数量和质量，忽略了与被预测属性相关的环境要素。而回归克里格可把外部环境要素考虑进来，进而可提高预测精度。

首先对辅助变量和目标变量之间的回归关系进行探讨，将空间上得趋势项进行分离，对分离趋势的残差进行普通克里格插值，最后将回归预测的趋势项和残差的普通克里格估值相加，从而得到目标变量的估测值。可用以下公式表达
$Z(x)=m(x)+e(x)\ e^*(x_i)=z(x_i)-m(x_i) \ Z(x_0)=m(x_0)+e(x_0)$
其中，m为趋势项，用回归方程拟合，e为残差项，用普通克里格进行预测

实例：
$\begin{array}{l} T N=2.115-2.056 \times N D V I-0.76 \times F M I \\ -0.132 \times S E I+0.0005 \times E l e v \end{array}$
将待预测位置上得上述环境因子值代入回归方程，即得到RK中的趋势项。将各采样点的TN观测值减去对应的趋势项得到残差值，用OK方法对残差进行预测；最后，各自的趋势项数据与残差预测数据相加，得到待预测位置的RK方法预测结果

思考题

回归克里格和协同克里格都是利用相关因子来预测，并可对精度提高有所贡献，它们之间的区别在哪里？什么情况下用回归克里格，什么情况下用协同克里格？

• 区别

OK方法的结果图斑较为平滑集中是因为OK方法插值与采样点的分布规律相关，而RK明显看出其空间分布与地形地貌的变化趋势类似是因为RK考虑了各种环境因子的趋势变化来得到趋势项，因为其残差项是普通克里格插值得到的，但是残差项对最后的插值结果影响比较小，起到主导作用的仍然是各种环境因子下综合作用的趋势项

• 适用情况

协调克里格的辅助数据是其他的样点属性，而回归克里格辅助数据一般是面状的

而回归克里格是将样点处的各种外部环境要素考虑进来，进而可提高预测精度
协同克里格法在理论上与普通克里格法本质相同，仍然是主要依赖采样点数据空间插值，并且利用两个变量之间的互相关性，用其中易于观测的变量对另一变量进行局部估计的方法

5.3空间随机模拟

5.3.1概述

然而大量研究发现, 克里格插值空间分布图具有一定的平滑效应, 会使空间数据变化剧烈区域的重要信息丢失, 且克里格插值存在着由于估计值与实际值之间的偏差导致的不确定性, 往往不能反映隐含在随机场概率模型中的整体相关结构地统计学的空间随机模拟法被提出以克服克里格法的缺陷

空间随机模拟和克里格插值是地统计学的重要组成部分，空间随机模拟与克里格估值力求减少估计误差的主导思想相比，空间随机模拟着重反映空间数据的波动性，处理与空间不确定性相关的变异问题

但与克里格方法相比，空间随机模拟的应用还是较少，主要原因是计算方法复杂，计算时间较长

5.3.2空间随机模拟分类

根据是否尊重原始实测样点数据，分为条件模拟和非条件模拟

• 条件模拟：在克里格插值法基础上发展起来的一种随机模拟方法，基本原理是根据区域化变量的分布函数、协方差函数和变异函数，按照一定的算法产生大量不同“实现”，进而研究区域化变量的总体特征。一般满足下列三个条件：

1.服从一定的概率分布，具有给定的数学期望和方差
2.与实测数据处所推断的变异函数或协方差函数相同，即保持特定的空间相关结构
3.采样处的模拟值等于该点的实测值只满足前两个条件的随机模拟叫非条件模拟
华

非条件模拟：转换带法、光谱法、LU矩阵分解法

条件模拟：转换带法、LU矩阵分解法（结合原始数据向量）、非条件模拟和克里格方法结合、序贯模拟方法、模拟退火法

5.3.4序贯高斯模拟

序贯高斯模拟是贝叶斯理论的一个应用，此方法根据现有数据计算待估模拟点值的条件概率分布，从该分布中随机取一值作为模拟现实。每得出一个模拟值，就把它连同原始数据、此前得到的模拟数据一起作为条件数据，进入到下一点的模拟。

序贯高斯模拟是条件高斯随机模拟最常用的方法。

步骤

1.确定单变量的累积分布函数$f(x_i;z_i)$，它代表了整个研究区内包含全部数据样本量的分布特征。其中$x_i$可以是任意维度，如果是区域化变量就是两维

2.将原始数据$Z$进行标准正态分布变换

3.在某个节点进行简单克里格估值(或者说是在某个区域下的点，是随机选取的)
$Z_{s k}^{*}\left(x_{0}\right)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} z\left(x_{i}\right)+\left(1-\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}\right) \mu$
并计算对应方差：
$\sigma_{S K}^{2}\left(x_{0}\right)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} r\left(x_{i}, x_{0}\right)$
4.根据克里格方差，产生一随机残差函数，该函数满足均值为0，方差等于克里格方差的正态分布。

5.将产生的残差$R(x_0)$加入到克里格估值中，就是该节点的模拟值$Z_{SGS}=Z_{SK}^*(x_0)+R(x_0)$另外，也可以直接从满足均值为$Z_{SGS}(x_0)$，方差为$\sigma^2_{SK}(x_0)$ 的正态分布中产生模拟值

6.将该节点产生的模拟值加入现有数据，一起作为以后模拟的条件数据

7.采用随机顺序，逐一访问所有需要模拟的节点，重复上述计算，直到所有的点都完成模拟

8.最后，将模拟结果进行逆高斯变换还原为原始变量

9.利用不同随机“种子”数，产生不同的模拟实现。同时，不同的“种子”会产生不同的随机数序列，因此，对于各节点就有不同的随机路径和残差。但是，每个实现的出现机率都是均等的。

几个要点

1. 访问路径：可随机，也可规则，但规则设计会使结果更趋理想
2. 模拟前，数据要符合正态分布
3. 简单克里格（SK）：如不符合简单克里格条件（均值已知），则可分区计算

实例

姚荣江 等. 海涂围垦区土壤盐分空间变异性随机模拟与不确定性评价[J]. 中国生态农业学报2011，19（3）：485-490

结论:由普通克里格法得到的土壤盐分空间分布整体比较连续,具有明显的平滑效应,减小了数据间的空间差异性,改变了数据的空间结构;序贯高斯模拟结果整体分布相对离散,突出了原始数据分布的波动性。对非盐化土、轻度盐化土、中度盐化土和重度盐化土的空间不确定性进行的序贯指示模拟结果显示,围垦后研究区耕层土壤盐渍化的发生概率已显著降低。轻度盐化土的高概率区是改良利用的主要区域,宜采用农业生物改良措施,对中度盐化土高概率区应通过完善田间灌排设施以加强改良治理,客土法是重度盐化土高概率区较为高效的改良治理途径

5.3.5结论

克里格追求的是最高的估值精度和最小的估值方差，结果具有平滑效应。而随机模拟适合于定量刻画某一属性的非均质和不确定性。
克里格估值只有一个结果，而随机模拟可产生多个结果，可以用来研究空间不确定性问题。
如何得到空间不确定性结果？请大家思考

随机模拟一般模拟500-1000次，那么在同一个位置上就有500-1000次结果，将预先划分好的区间范围例如$[0,10],[10,20],[20,30]...,[90,100]$统计500-1000次的模拟值落入这些区间的概率，每一个位置都有这样的统计频次模拟图。