VAR（向量自迴歸）模型

一、簡介

1.1 內生變量與外生變量

內生變量

• 內生變量是具有某種概率分佈的隨機變量，它的參數是聯立方程系統估計的元素，是由模型系統決定的，同時也對模型系統產生影響。
• 內生變量–般都是明確經濟意義變量。
• 一般情況下，內生變量與隨機項相關，即 $Cov\left( Y_i,\varepsilon _i \right) \ne 0$
• 在聯立方程模型中，內生變量既作爲被解釋變量，又可以在不同的方程中作爲解釋變量。

外生變量

• 外生變量一般是確定性變量，或者是具有臨界概率分佈的隨機變量，其參數不是模型系統研究的元素。
• 外生變量影響系統，但本身不受系統的影響。
• 外生變量一般是經濟變量、政策變量、虛擬變量。
• 一般情況下，外生變量與隨機項不相關。

注意：一個變量是內生變量還是外生變量，由經濟理論和經濟意義決定，不是從數學形式決定。

1.2 VAR模型概念

向量自迴歸模型，簡稱VAR模型，是AR 模型的推廣，是一種常用的計量經濟模型。在一定的條件下，多元MA和ARMA模型也可轉化成VAR模型。

VAR模型是用模型中所有當期變量對所有變量的若干滯後變量進行迴歸。

即

向量自迴歸模型把系統中每-一個內生變量作爲系統中所有內生變量的滯後值的函數來構造模型，從而實現了將單變量自迴歸模型推廣到由多元時間序列變量組成的“向量”自迴歸模型。

VAR模型常用於預測相互聯繫的時間序列系統以及分析隨機擾動對變量系統的動態影響，主要應用於宏觀經濟學。是處理多個相關經濟指標的分析與預測中最容易操作的模型之一。

由於向量自迴歸模型把每個內生變量作爲系統中所有內生變量滯後值的函數來構造模型，從而避開了結構建模方法中需要對系統每個內生變量關於所有內生變量滯後值的建模問題。

1.3 VAR模型結構

單變量的時間序列的分析模式可以推廣到多變量時間序列，建立向量自迴歸模型。向量自迴歸模型通常用於描述多變量時間序列之間的變動關係，不需要經濟理論作爲基礎，從數據出發建立模型，是一種非結構化的模型。

非限制性向量自迴歸模型的一般表達式如下：

模型的基本形式是弱平穩過程的自迴歸表達式，描述的是在同一樣本期間內的若干變量可以作爲它們過去值的線性函數。

$Y_t=\varPhi _0+\varPhi _1Y_{t-1}+\cdots +\varPhi _pY_{t-p}+BX_t+\varepsilon _t\ \text{，\ }t=1,2,\cdots ,T$

其中
$Y_t=\left( \begin{array}{c} y_{1t}\\ y_{2t}\\ \vdots\\ y_{kt}\\ \end{array} \right) \text{，}\varepsilon _t=\left( \begin{array}{c} \varepsilon _{1t}\\ \varepsilon _{2t}\\ \vdots\\ \varepsilon _{kt}\\ \end{array} \right) \text{，}\varPhi _0=\left( \begin{array}{c} \phi _{10}\\ \phi _{20}\\ \vdots\\ \phi _{k0}\\ \end{array} \right)$

$\varPhi _i=\left( \begin{matrix} \phi _{11}\left( i \right)& \phi _{12}\left( i \right)& \cdots& \phi _{1k}\left( i \right)\\ \phi _{21}\left( i \right)& \phi _{22}\left( i \right)& \cdots& \phi _{2k}\left( i \right)\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ \phi _{k1}\left( i \right)& \phi _{k2}\left( i \right)& \cdots& \phi _{kk}\left( i \right)\\ \end{matrix} \right) \,\,\text{，\,\,}i=1,2,\cdots ,p$

• $Y_t$ 表示 k 維內生變量列向量
• $Y_{t-i}\text{，}i=1,2,\cdots ,p$ 爲滯後的內生變量
• $X_t$ 表示 d 維外生變量列向量，它可以是常數變量、線性趨勢項或者其他非隨機變量
• p 是滯後階數
• T 爲樣本數目
• $\varPhi _i$ 即 $\varPhi _1,\varPhi _2\cdots ,\varPhi _p$ 爲 $k\times k$ 維的待估矩陣
• B 爲 $k\times d$ 維的待估矩陣
• $\varepsilon _t\sim N\left( 0,\varSigma \right)$ 爲 k 維白噪聲向量，它們相互之間可以同期相關，但不與自己的滯後項相關（諸 $\varepsilon _t$ 獨立同分布，而 $\varepsilon _t$ 中的分量不要求相互獨立），也不與上式中右邊的變量相關。$\varSigma$ 是 $\varepsilon _t$ 的協方差矩陣， 是一個 $k\times k$ 的正定矩陣。.

比如 1 維 p 階 向量自迴歸模型

$\left\{ \begin{array}{l} y_{1t}=\phi _{10}+\phi _{11}\left( 1 \right) y_{1,t-1}+\phi _{12}\left( 1 \right) y_{2,t-1}+\cdots +\phi _{1n}\left( 1 \right) y_{n,t-1}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\phi _{11}\left( 2 \right) y_{1,t-2}+\phi _{12}\left( 2 \right) y_{2,t-2}+\cdots +\phi _{1n}\left( 2 \right) y_{n,t-2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\cdots\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\phi _{11}\left( p \right) y_{1,t-p}+\phi _{12}\left( p \right) y_{2,t-p}+\cdots +\phi _{1n}\left( p \right) y_{n,t-p}+\varepsilon _t\\ \end{array} \right.$

不含常數項或線性趨勢項的向量自迴歸模型表達式爲：

$Y_t=\varPhi _1Y_{t-1}+\cdots +\varPhi _pY_{t-p}+\varepsilon _t\ \text{，\ }t=1,2,\cdots ,T$

1.4 VAR模型的特點

1. 不以嚴格的經濟理論爲依據。在建模過程中只需明確兩件事：①共有哪些變量是相互有關係的，把有關係的變量包括在VAR模型中；②確定滯後期 p。使模型能反映出變量間相互影響的絕大部分。
2. VAR模型對參數不施加零約束。（對無顯着性的參數估計值並不從模型中剔除，不分析迴歸參數的經濟意義。）
3. VAR模型的解釋變量中不包括任何當期變量，所有與聯立方程模型有關的問題在VAR模型中都不存在（主要是參數估計量的非一致性問題）。
4. VAR模型的另一個特點是有相當多的參數需要估計。比如一個VAR模型含有三個變量，最大滯後期 p=3，則有27個參數需要估計。當樣本容量較小時，多數參數的估計量誤差較大。
5. 無約束VAR模型的應用之一是預測。由於在VAR模型中每個方程的右側都不含有當期變量，這種模型用於樣本外一期預測的優點是不必對解釋變量在預測期內的取值做任何預測。
6. 用VAR模型做樣本外近期預測非常準確。做樣本外長期預測時，則只能預測出變動的趨勢，而對短期波動預測不理想。

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二、模型的定階（滯後階數檢驗）

滯後階數檢驗需要考慮兩個問題：

• 第一，如果滯後階數 p 比較小，那麼隨機誤差項會出現自相關的問題；
• 第二，在實際應用中，通常希望滯後階數 p 足夠大，進而能夠更好的體現所構造的模型的動態特徵，但是如果滯後階數 p 過大時，那麼模型所需要估計的參數就越多，將存在自由度太小的問題，如果沒有足夠多的樣本數量，就會造成所需要估計參數不能有效的計算出來。

所以，在做滯後階數檢驗之前，需要把各種因素都考慮在內，這樣才能保證檢驗結果是有效的。

有兩種方法可以做滯後階數檢驗：

• 第–種方法，分析各種準則，最後確定滯後階數，AIC準則、SC準則、HQ準則、LogL準則、最終預測誤差（FPE）；.
• 第二種方法，分析似然比（LR），這種方法不會出現第一-種方法的無效結果。

第一種方法被學者們用的最多。.第一種方法中的五個指標在各個階數的估計值，選取五個檢驗準則最小值數量最多的階數即爲模型的滯後期數。

比如

三、模型的係數估計

對於向量自迴歸模型系統中的每一個方程都可以採用OLS（最小二乘估計）方法進行估計，同時估計量具有一致性和無偏性。

一個 k 維 p 階向量自迴歸模型中，各方程中所有解釋變量的滯後期是相同的，都爲滯後 p 期，因此共估計得到 $p\times k^2+k$ 個係數。

四、單位根檢驗

時間序列平穩性是指–組數列的統計值與時間無關，不會隨時間推移而變化，它通常是以因果關係爲基礎的數學模型的假設條件。

• 如果時間序列 $y_t$ 是一組平穩序列，那麼經過計算分析得到其均值 $E\left( y_t \right)$ 不隨時間變化而變化，其方差 $Var\left( y_t \right)$ 也不受時間的影響。
• 如果時間序列 $y_t$ 不是一組平穩序列，那麼它的均值和方差都會受到時間t影響，隨之改變。

在VAR模型中，必須保證時間序列穩定。如果不能保證時間序列穩定，那麼會導致兩種結果：

第一，向量自迴歸係數的估計值是負數，做完 t 檢驗後，得到的結果是無效的；
第二，兩個獨立變量的相關關係或者回歸關係是假的，使得模型的結果無效。

（1）DF 檢驗

DF 檢驗只適用於一階自迴歸過程的平穩性檢驗

在一階自迴歸序列中，
$y_t=\phi _1y_{t-1}+\varepsilon _t\ ,\ \varepsilon _t\sim N\left( 0,\sigma _{\varepsilon}^2 \right)$
該序列的特徵方程爲：

$\lambda -\phi _1=0$

特徵根爲：
$\lambda =\phi _1$
當特徵根在單位圓內時：$\left| \phi _1 \right|<1$，該序列平穩
當特徵根在單位圓上或單位圓外時：$\left| \phi _1 \right|\ge 1$，該序列非平穩

所以可以通過檢驗特徵根是在單位圓內還是在單位圓上（外），來檢驗序列的平穩性，這種檢驗就稱爲單位根檢驗。

由於現實生活中絕大多數序列都是非平穩序列，所以單位根檢驗的原假設定爲：

$H_0:\text{序列\ }y_t\ \text{非平穩}\Leftrightarrow H_0:\left| \phi _1 \right|\ge 1$

相應的備擇假設爲：$H_1:\text{序列\ }y_t\ \text{平穩}\Leftrightarrow H_1:\left| \phi _1 \right|<1$
檢驗統計量爲：$t\left( \phi _1 \right) =\frac{\hat{\phi}_1-\phi _1}{S\left( \hat{\phi}_1 \right)}$
拒絕原假設，認爲序列 $y_t$ 顯著平穩

（2）ADF 檢驗

因爲 DF 檢驗只適用於1階自迴歸過程的平穩性檢驗，但實際上絕大多數時間序列都不會是一個簡單的AR(1)過程。爲了使DF檢驗能適用於AR( p )過程的平穩性檢驗，對其進行了一定的修正，得到增廣DF檢驗（augmented Dickey-Fuller)，簡記爲ADF檢驗。

對任一 AR ( p ) 過程

$y_t=\phi _1y_{t-1}+\cdots +\phi _py_{t-p}+\varepsilon _t$

特徵方程：
$\lambda ^p-\phi _1\lambda ^{p-1}-\phi _2\lambda ^{p-2}-\cdots -\phi _p=0$

如果該方程所有的特徵根都在單位圓內，即$\left| \lambda _i \right|<1\text{，}i=1,2,\cdots ,p$

則序列 $y_t$ 平穩

如果有一個單位根存在，不妨設
$\lambda _1=1$

則序列 $y_t$ 非平穩，且自迴歸係數之和恰好等於1：
$\left\{ \begin{array}{l} \lambda ^p-\phi _1\lambda ^{p-1}-\cdots -\phi _p\lambda ^{p-p}=0\\ \\ \xRightarrow{\lambda =1}\\ \\ 1-\phi _1-\cdots -\phi _p=0\\ \\ \Rightarrow\\ \\ \phi _1+\phi _2+\cdots +\phi _p=1\\ \end{array} \right.$

因而，對於AR( p )過程，可以通過檢驗自迴歸係數之和是否等於1來考察該序列的平穩性.

將.上述推廣到 VAR( p ) 模型中，如果特徵方程
$\left| I_N\lambda ^p-\varPhi _1\lambda ^p-\varPhi _2\lambda ^p-\cdots -\varPhi _p \right|=0$

的所有特徵根都落在單位圓內，即 $\left| \lambda _i \right|<1\text{，}\left( i=1,2,\cdots ,p \right)$，那麼就說 VAR( p ) 模型是協方差穩定的。

引入延遲算子B，如果 VAR( p ) 模型滿足
$\left| I_N-\varPhi _1B-\varPhi _2B^2-\cdots -\varPhi _pB^p \right|=0$

的所有根都在單位圓外，模型也是協方差穩定的。

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對

$y_t=\phi _1y_{t-1}+\cdots +\phi _py_{t-p}+\varepsilon _t$
進行等價變換：
$y_t-y_{t-1}=\phi _1y_{t-1}+\cdots +\phi _py_{t-p}-y_{t-1}+\varepsilon _t$

整理得
$\triangledown y_t=\left( \phi _1+\cdots +\phi _{p-1} \right) y_{t-1}-\left( \phi _2+\cdots +\phi _p \right) \triangledown y_{t-1}-\cdots -\phi _p\triangledown y_{t-p+1}+\varepsilon _t$
簡記爲
$\triangledown y_t=\alpha y_{t-1}+\beta _1\triangledown y_{t-1}+\cdots +\beta _{p-1}\triangledown y_{t-p+1}+\varepsilon _t$
式中
$\left\{ \begin{array}{l} \alpha =\phi _1+\phi _2+\cdots \phi _p-1\\ \\ \beta _j=-\phi _{j+1}-\phi _{j+2}-\cdots -\phi _p\ \text{，\ }j=1,2,\cdots ,p-1\\ \end{array} \right.$

若序列 $y_t$ 平穩，則$\phi _1+\phi _2+\cdots \phi _p<1$等價於 α<0

若序列 $y_t$ 非平穩，則至少存在一個單位根，有
$\phi _1+\phi _2+\cdots \phi _p=1$
等價於 α=0

則AR( p )過程單位根檢驗的假設條件可以確定爲：
$H_0:\alpha =0\left( \text{序列非平穩} \right) \longleftrightarrow H_1:\alpha <0\left( \text{序列平穩} \right)$

構造ADF檢驗統計量：

$\tau =\frac{\hat{\alpha}}{S\left( \hat{\alpha} \right)}$

$S\left( \hat{\alpha} \right)$ 爲參數 α 的樣本標準差

通過蒙特卡洛方法，可以得到r檢驗統計量的臨界值表，顯然DF檢驗是ADF檢驗在自相關階數爲1時的一個特例，所以統稱爲ADF檢驗

利用 EVIEWS 可以進行平穩性檢驗

五、格蘭傑因果檢驗

在有些情況下，時間序列分析也會出現僞相關問題，也就是可以計算出較大的相關係數的變量實際上並不相關。

針對此問題，格蘭傑因果檢驗由此而生。格蘭傑因果檢驗用於檢驗時間序列之間是否存在相關關係，它是能否建立脈衝函數的前提。

在VAR模型中，格蘭傑檢驗的因果關係不是通常所說的因果關係（並非真正漢語意義上的“因果關係”），而是說先發生的事情對後發生的事情有–定的影響，或者說某個變量是否可以用來提高對其他相關變量的預測能力。所以，“格蘭傑因果關係的實質是一-種“預測”關係

其實質是考量一個變量的滯後量能否加入到其他變量的公式中。當一個變量確實受到其他變量的滯後量影響時，可以稱這兩個變量具有格蘭傑因果關係。

格蘭傑因果檢採取以下方式驗證是否是真正的相關關係：

（1）估計當前的Y值被Y本身滯後期取值所能解釋的程度；
（2）檢驗加入X的滯後期後，Y的被解釋程度是否提高；
（3）如果滿足條件（2），則X是Y的格蘭傑成因，此時X的滯後期係數具有統計顯著性。

具體是通過在向量自迴歸模型系統中考察序列滯後項的係數是否全爲零來進行檢驗。以一個2維p階平穩向量自迴歸模型爲例

$\left\{ \begin{array}{l} y_{1t}=\phi _{10}+\phi _{11}\left( 1 \right) y_{1,t-1}+\phi _{11}\left( 2 \right) y_{1,t-2}+\cdots +\phi _{11}\left( p \right) y_{1,t-p}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\phi _{12}\left( 1 \right) y_{2,t-1}+\phi _{12}\left( 2 \right) y_{2,t-2}+\cdots +\phi _{12}\left( p \right) y_{2,t-p}+\varepsilon _t\\ \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l} y_{2t}=\phi _{20}+\phi _{21}\left( 1 \right) y_{1,t-1}+\phi _{21}\left( 2 \right) y_{1,t-2}+\cdots +\phi _{21}\left( p \right) y_{1,t-p}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\phi _{22}\left( 1 \right) y_{2,t-1}+\phi _{22}\left( 2 \right) y_{2,t-2}+\cdots +\phi _{22}\left( p \right) y_{2,t-p}+\varepsilon _t\\ \end{array} \right.$

可以寫成
$\left| \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} y_{1t}\\ y_{2t}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \phi _{10}\\ \phi _{20}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} \phi _{11}\left( 1 \right)& \phi _{12}\left( 1 \right)\\ \phi _{21}\left( 1 \right)& \phi _{22}\left( 1 \right)\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} y_{1,t-1}\\ y_{2,t-1}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} \phi _{11}\left( 2 \right)& \phi _{12}\left( 2 \right)\\ \phi _{21}\left( 2 \right)& \phi _{22}\left( 2 \right)\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} y_{1,t-2}\\ y_{2,t-2}\\ \end{array} \right]\\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\cdots +\left[ \begin{matrix} \phi _{11}\left( p \right)& \phi _{12}\left( p \right)\\ \phi _{21}\left( p \right)& \phi _{22}\left( p \right)\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} y_{1,t-p}\\ y_{2,t-p}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \varepsilon _{1t}\\ \varepsilon _{2t}\\ \end{array} \right]\\ \end{array} \right.$

檢驗原假設：$H_0:\ y_{2t}\text{不是}y_{1t}\text{的格蘭傑原因}$

則通過F檢驗來檢驗聯合假設
$\phi _{12}\left( 1 \right) =\phi _{12}\left( 2 \right) =\cdots =\phi _{12}\left( p \right) =0$

若檢驗結果拒絕原假設，即拒絕 $y_{2t}$ 不是 $y_{1t}$ 的格蘭傑原因，則通常稱 $y_{2t}$ 是 $y_{1t}$ 的格蘭傑原因。

由於格蘭傑因果關係檢驗是在向量自迴歸模型的基礎上進行的，因此向量自迴歸模型本身的合理性對格蘭傑因果關係檢驗的結果也是非常重要的。例如，向量自迴歸模型本身應當具有恰當的滯後期。

六、脈衝響應分析

在VAR模型中，脈衝響應分析的作用是可以分析某個變量對另一個變量的影響時間和幅度。研究當擾動項發生變化時，對整個模型系統產生的影響，用來描述一個變量的變動怎樣影響模型其他所有的變量。

如果時間序列是穩定的，雖然前幾期受到外部衝擊的影響，該變量會處於一個變化的狀態，但經過一段時間，最終會處於-一個平穩的狀態。

由於向量自迴歸模型表達式中所需要估計的參數非常多，並且一個係數只能反應局部關係。

也就是，VAR模型中的各個等式中的係數並不是研究者最終關注的對象，對模型表達式中的係數的研究意義並不大。但是如果考慮一個擾動項變動，或者受到一個干擾或衝擊，各個變量之間的動態關係，也就是系統的動態反應，是具有–定意義的。

脈衝響應函數

在參數估計量的評價標準中，一般包含無偏性、有效性、相合性和一致性，而VAR模型參數的普通最小二乘法估計量只具有–致性，因此要解釋複雜的經濟問題，單個參數估計值是很難完成的。

一個有效的對VAR模型進行分析的方法就是脈衝響應函數。

脈衝響應函數研究的是隨機干擾項遭受衝擊後內生變量的反應，用來描述對隨機干擾項施加一一個衝擊後對內生變量的當期值和未來值造成的影響。

在實際的應用中，由於VAR模型是一種非理論性的模型，因此在對VAR模型的分析中，很少研究一個變量的變化對另-一個變量的影響，而是專注於當一個隨機誤差項變化時（對隨機誤差項施加衝擊），對系統的動態影響。

七、方差分解

在VAR模型中，得到了某個變量對另一個變量的解釋度後，能夠分析出該變量的重要性。變量會產生一些隨機誤差項，這些隨機誤差項都包含着重要的信息，方差分解的結果能夠把這些信息全部說明出來。方差分解的作用非常大，這個過程的作用是能夠分析某個變量對另-一個變量的解釋度。

如果說脈衝響應函數是來描述數學模型中的任一內生變量的正交衝擊對其他變量造成的影響，那麼方差分解就是分析各個內生變量的正交衝擊對目標內生變量衝擊的貢獻比例，進而判斷分析各個變量的重要性。

參考：

《淺析中國對美貿易額的影響因素》_張康琦
《基於VAR模型的GDP和CPI對居民生活水平的影響分析》_陳小龍
《向量自迴歸模型擾動分佈的光滑檢驗及其應用》_鍾嫕姝