灰色關聯模型

一、灰色關聯模型

1.1 灰色關聯分析模型概述

灰色關聯分析是一種多因素統計方法，是灰色系統理論的一個重要分支。與傳統的多因素統計方法（迴歸分析、方差分析等）相比，灰色關聯分析對樣本量的多少和樣本有無明顯的規律要求較低，且計算量小，通常不會出現量化結果與定性分析結果不符的情況，因此應用十分廣泛。其基本思想是通過計算主因子序列和每個行爲因子序列之間的灰色關聯度，來判斷因子之間關係的強度、大小和順序。主因子序列和行爲因子序列之間的灰色關聯度越大，則它們的關係越緊密，行爲因子序列對主因子序列的影響越大，反之亦然。

1.2 灰色關聯分析模型的基本步驟

第一步：確定反映系統行爲特徵的參考序列$X^{\left( 0 \right)}$和影響系統行爲的比較序列 $X^{\left( m \right)}$：
其中反映系統行爲特徵的數據序列爲參考序列爲：
$X_0=\{X_0\left( 1 \right) ,X_0\left( 2 \right) ,...,X_0\left( n \right) \}$

影響系統行爲的因素組成的數據序列爲比較序列爲：
$\begin{array}{l} X_1=\{X_1\left( 1 \right) ,X_1\left( 2 \right) ,...,X_1\left( n \right) \}\\ X_2=\{X_2\left( 1 \right) ,X_2\left( 2 \right) ,...,X_2\left( n \right) \}\\ \vdots\\ X_m=\{X_m\left( 1 \right) ,X_m\left( 2 \right) ,...,X_m\left( n \right) \}\\ \end{array}$

第二步：求各序列的初值像(進行無量綱化處理)。令
$X'=\text{X}_{\text{i}}/X_i\left( 1 \right) =\{X'_i\left( 1 \right) ,X'_i\left( 2 \right) ,...,X'_i\left( n \right) \}$
其中$i=0,1,2,...,m$

得到
$X'_0,X'_1,...,X'_m$

第三步：求 $X_0$與 $X_i$的初值像對應分量之差的絕對值序列。
記
$\Delta _i\left( k \right) =\left| X'_0\left( k \right) -X'_i\left( k \right) \right|$
$\Delta _i=\left( \Delta _i\left( 1 \right) ,\Delta _i\left( 2 \right) ,...,\Delta _i\left( n \right) \right) \ \ i=1,2,...,m;\text{k}=1,2,...,n$
第四步：求$\Delta _i\left( k \right) =\left| X'_0\left( k \right) -X'_i\left( k \right) \right|$的最小值與最大值。分別記爲
$\Delta _{\min}=\min _i\min _k\Delta _i\left( k \right)$
$\Delta _{\max}=\max _i\max _k\Delta _i\left( k \right)$
第五步：求關聯繫數$\xi _i\left( k \right)$
$\xi _{0i}\left( k \right) =\frac{\Delta _{\min}+p\Delta _{\max}}{\Delta _i\left( k \right) +p\Delta _{\max}}$
其中， p爲分辨係數，0< p <1，一般取 p=0.5。

第六步：求關聯度
$\gamma _{0i}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n{\xi _{0i}\left( k \right)}$
第七步 ：按 $\gamma _{0i}$大小排序 ，區分其關聯程度的大小，若 $\gamma _i$值越大，說明其關聯的程度越大；反之 $\gamma _i$值越小，則其關聯程度越小

1.3 應用

居民消費價格指數主要由八大商品類構成，其中包括：食品、菸酒、衣着、家庭設備用品及維修服務、醫療保健和個人用品、交通和通信、娛樂教育文化用品及服務、居住。根據這八大類，選取重慶居民消費價格指數作爲參考序列$X_0$ ，八類消費支出指標作爲與之相對應的比較序列$X_i$ ，其中 i = 1,2,…,8

根據灰色關聯分析模型計算步驟，將數據導入灰色系統建模軟件（專門用於灰色模型的軟件），得到如下結果：

參考序列$X^{\left( 0 \right)}$ 和比較序列$X^{\left( m \right)}$ 的灰色關聯度的計算過程如下：

（1）序列初值像：
1.0000 1.0203 0.9942 0.9952 0.9864 0.9816 0.9864 ======$X'_0$
1.0000 1.0714 0.9831 0.9775 0.9700 0.9559 0.9831 ======$X'_1$
1.0000 0.9942 1.0268 0.9645 0.9377 0.9501 0.9607
1.0000 1.0295 1.0386 1.0803 1.0366 1.0447 1.0407
1.0000 1.0200 1.0070 1.0140 1.0030 0.9980 1.0040
1.0000 0.9951 0.9941 0.9854 0.9922 1.0010 0.9932
1.0000 0.9960 0.9879 0.9879 1.0080 0.9849 1.0111
1.0000 0.9630 0.9825 0.9873 0.9747 0.9854 0.9688
1.0000 0.9839 0.9725 0.9753 0.9639 0.9602 0.9592 ======$X'_8$

（2）求 $X_0$與 $X_i$的初值像對應分量之差的絕對值序列。
記
$\Delta _i\left( k \right) =\left| X'_0\left( k \right) -X'_i\left( k \right) \right|$

0.0000 0.0510 0.0111 0.0177 0.0165 0.0257 0.0033 ----------$|X'_0(k)-X'_1(k)|=\Delta _1$
0.0000 0.0261 0.0327 0.0306 0.0488 0.0314 0.0257 ----------$|X'_0(k)-X'_2(k)|=\Delta _2$
0.0000 0.0091 0.0444 0.0851 0.0502 0.0631 0.0542
0.0000 0.0004 0.0128 0.0188 0.0166 0.0164 0.0176
0.0000 0.0252 0.0000 0.0098 0.0058 0.0194 0.0067
0.0000 0.0244 0.0062 0.0072 0.0216 0.0033 0.0246
0.0000 0.0573 0.0117 0.0078 0.0118 0.0038 0.0176
0.0000 0.0365 0.0217 0.0198 0.0225 0.0214 0.0272----------$|X'_0(k)-X'_8(k)|=\Delta _8$

（3）求$\Delta _i\left( k \right) =\left| X'_0\left( k \right) -X'_i\left( k \right) \right|$的最小值與最大值
$\Delta _{\min}=\min _i\min _k\Delta _i\left( k \right) =0.0000$
$\Delta _{\max}=\max _i\max _k\Delta _i\left( k \right) =0.0851$
（4）關聯繫數$\xi _i\left( k \right)$
$\xi _{0i}\left( k \right) =\frac{\Delta _{\min}+p\Delta _{\max}}{\Delta _i\left( k \right) +p\Delta _{\max}}$
其中， p爲分辨係數，0< p <1，一般取 p=0.5。

1.0000 0.4549 0.7933 0.7064 0.7209 0.6233 0.9273
1.0000 0.6199 0.5658 0.5815 0.4661 0.5751 0.6231
1.0000 0.8235 0.4893 0.3333 0.4591 0.4027 0.4398
1.0000 0.9909 0.7688 0.6934 0.7199 0.7217 0.7080
1.0000 0.6279 0.9991 0.8130 0.8808 0.6871 0.8634
1.0000 0.6359 0.8720 0.8551 0.6633 0.9273 0.6335
1.0000 0.4260 0.7842 0.8449 0.7837 0.9179 0.7076
1.0000 0.5385 0.6623 0.6823 0.6543 0.6651 0.6098

（5） $X_0$與 $X_i$的鄧氏關聯度
關聯度
$\gamma _{0i}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n{\xi _{0i}\left( k \right)}$

0.7466 0.6331 0.564 0.8004 0.8387 0.7982 0.7806 0.6875

（6）按 $\gamma _{0i}$大小排序 ，區分其關聯程度的大小，若 $\gamma _i$值越大，說明其關聯的程度越大；反之 $\gamma _i$值越小，則其關聯程度越小

最後整理得到重慶市消費結構的灰色關聯度及其排序

針對重慶居民價格消費指數與各消費分類指數的關聯度的排序結果，可以得出結論。