【計量經濟學】--經典線性迴歸

計量經濟學的組成：
經濟理論+數學+統計推斷；

計量經濟學的定義：
實際經濟現象的定量分析，利用數理統計分析經濟數據，對於構建於數理經濟學基礎上的數學模型提供經驗支持，並得出數量結果；

計量經濟的主要作用：
驗證經濟理論、經濟結構分析、經濟政策評價、經濟預測。

四個步驟：
模型設定（specification)、估計參數、模型檢驗、模型應用

1. 模型設定
   計量模型構成要素：變量、參數和隨機擾動項；

2. 估計參數
   一般地，參數是未知的，不可直接觀測。參數要通過樣本數據，選擇適當方法加以估計，如普通最小二乘法（OLS)，極大似然法（ML)、廣義最小二乘法（GLS)

3. 模型檢驗
   經濟意義檢驗：所估計的模型與經濟理論是否相符；
   統計推斷檢驗：檢驗參數估計值是否是抽樣的偶然結果；
   計量經濟學檢驗：是否符合計量經濟方法的基本假定；
   預測檢驗：將模型預測結果與經濟運行的實際對比；

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• 經濟變量之間的相互關係的三種情況：
  確定性的函數關係，可以使用數學方法計算；
  不確定性的統計關係，即相關關係，可以用統計方法分析；
  沒有關係；

相關分析：
相關關係是指變量間不確定性的依存關係。
總體的兩個變量X和Y的全部數值無法直接觀測，所以總體相關係數也是未知的，一般考慮使用樣本相關係數估計總體相關係數。不過，對於特定的總體，X和Y的數值是既定的，那麼總體相關係數$\rho$是客觀存在的特定數值。
相關係數存在的弊端：
1. 不能說明一個變量的變動會導致另一個變量變動的具體數量規律。
2. 樣本相關係數是總體相關係數的樣本估計值，由於抽樣波動，樣本相關係數是隨抽樣而變動的隨機變量，其統計顯著性還有待檢驗。

迴歸（regression）分析：
迴歸分析是研究一個因變量的變量（Y）對另一個或多個叫自變量的變量（X）的依賴關係。
通過自變量在重複抽樣中的已知或設定值，去估計或預測因變量的總體均值。
總體迴歸直線是解釋變量取各給定值時，被解釋變量條件期望的軌跡。

因變量，被解釋變量explained variable；
自變量，解釋變量explainatory variable；

• 條件分佈和條件概率
  當解釋變量X取某固定值時，被解釋變量Y值不確定，Y的不同值會形成一定的分佈，即Y的條件分佈。
  X取某固定值時，Y取不同值的概率稱爲條件概率，從而有Y的條件期望，用$E(Y|X_{i})$表示，該值會隨X的變動而變動。
• 迴歸線
  對於每一個X的取值$X_{i}$，都有Y的條件期望$E(Y|X_{i})$與之對應，那麼點$（X_{i}，E(Y|X_{i})）$的軌跡形成的曲線或直線就是迴歸線。
• 迴歸函數
  $f(X_{i})=E(Y|X_{i})$
• 樣本相關係數$r$和樣本可決係數$r^{2}$在概念上的區別：
  $r$建立在相關分析的理論基礎上，研究兩個隨機變量$X$與$Y$之間的線性相關關係；$r^{2}$建立在迴歸分析的理論基礎上，研究非隨機變量$X$對隨機變量$Y$的解釋程度；

關於擬合優度檢驗

• 既然最小二乘法所得到的參數估計已經具有較好的統計性質（無偏性、線性性、最小方差性等），還要對得到的樣本回歸線進行擬合優度檢驗，計算可決係數呢？
  這是因爲一些散點圖做出來並不呈線性相關的數據，帶入最小二乘計算參數的公式中，就能得到所謂的“迴歸線“，而它是沒有實際意義的，。於是爲了避免這一現象的產生，提出了擬合優度的概念。