代數(2)

“溫故而知新”

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• 基底是一組向量，其中的每一個向量被稱作”基向量“；
• 基向量常被要求標準化，也就是把原來的基向量除以模長，化爲單位長的基向量。這是因爲：
  一個向量u在某基底下的座標，實際上是該向量在各個基向量方向上的投影長度。
  舉個例子：在二維平面中，取基底$e_{1}=(1,0),e_{2}=(0,1)$,那麼向量$u=(4,5)$分別在向量$e_{1}、e_{2}$方向上的投影長度分別是4，5。
  而計算一個向量$u$在另外一個向量$v$方向上的投影$|u|\cos\theta$。
  考慮向量的內積，即$u\cdot v=\left | u \right |\left |v\right|\cos \theta$.
  當向量$v$的模長$|v|=1$時，那麼$u\cdot v=|u||v|\cos\theta=|u|\cos\theta$。
  而向量的內積容易計算。

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關於一些證明的可選方法：

• 證明$(f(x),g(x))=h(x)$

1. 按照最大公因式的定義；
2. 左右相互整除，均首1;
3. $h(x)|f(x),h(x)|g(x)$且$h(x)$是f(X)和g(x)的組合；

• 證明$(f(x),g(x))=1$

4. 找$u(x),v(x)~s.t.u(x)f(x)+v(x)g(x)=1$;
5. 證明$f(x),g(x)$的任一公因式爲非零常數；
6. 反證法，存在不可約多項式$p(x)~s.t.p(x)|f(x),p(x)|g(x)$;
7. f(x)的根不都是g(x)的根；

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• 最大公因式、互素與數域無關；