運籌學Operations Research--線性規劃

運籌學的核心思想：最優化；
運籌學的系統觀，即全局最優化；

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線性規劃(Linear Programming)

L.P.數學模型：

• 三要素 ：決策變量、目標要求、約束條件
• 一般地，
  $Max~z=CX \\ s.t.\left\{\begin{matrix} AX\leqslant b\\ X\geqslant 0 \end{matrix}\right.$
  其中，$X$是決策變量向量，C稱爲價格係數向量（一般是效益等的，這裏用價格），$A$稱爲技術係數矩陣，$b$稱爲資源限制向量。
  技術係數，又稱“條件約束係數”、“單耗”，來源於：A中的元素一般是資源的單耗量，各個工廠的技術不同，對應的資源單耗量也不同，所以稱爲技術係數。
  $s.t.$是subject to的縮寫，意爲約束條件。
  標準型及其轉化
  
  轉化需要注意：
  1. 要求目標函數用$max$,否則對目標函數整體加負號，這樣就把最小值問題轉化成了最大值；
  2. 要求約束方程爲等式。否則,引入鬆弛變量將不等式轉化爲等式約束。如果是$\leq$，則在左邊加入非負鬆弛變量；如果是$\geq$，則在左邊引入負的鬆弛變量。示例如下：
     標準化前：
     $max ~ z=70x_{1}+30x_{2}\\ s.t.\left\{\begin{matrix} 3x_{1}+9x_{2}\leqslant 540\\ 5x_{1}+5x_{2}\leqslant 450\\ 9x_{1}+3x_{2}\leqslant720\\ x_{1},x_{2}\geqslant0 \end{matrix}\right.$
     標準化之後：
     
  3. 要求約束方程右邊常數是非負的，否則在兩邊同時乘以“-1”使得約束方程右邊常數變爲非負。
  4. 要求所有變量非負。若$x_{k}$爲無約束變量（即可正可負），則令$x_{k}={x}'_{k}-{x}''_{k}$，其中${x}'_{k},{x}''_{k}>0$即可。
  5. 例題
     
     標準化之後：
     

線性規劃解的名稱：
可行解：凡滿足所有約束條件的所有解稱爲可行解，對應着可行方案；
可行解域：所有可行解的集合。可行解域中的任何一點，即可行點；
最優解：使得目標函數值達到最優的可行解；
基本解：所有約束條件直線的交點對應的解；
基本可行解：基本解&&可行解；

求解方法：
4. 圖解法
利用數模中防護曾式的幾何圖形來直接找到最優解；
該方法簡單直觀，但只適用於兩個變量；
兩個變量線性規劃的性質：
1. 兩個變量的線性規劃問題的可行域（如果存在的話）是個凸多邊形（可能有界，也可能無界）；
2. 如果兩個變量的線性規劃問題有最優解，則最優解頂可以在可行域的某個頂點處取得。
5. 單純形法
線性規劃的通用方法。適用於多個變量，但比較抽象。

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參考資料：愛課程·資源共享課程《運籌學》天津大學，主講老師：杜綱*
一、單純形法的預備知識


二、單純形法步驟和原理


注：計算檢驗比向量$\theta$時，如果有某個分量$\theta_{i}<0$，那麼就不計算這個分量，接着計算下一個分量；而，如果檢驗比向量中所有分量都小於零，即$\theta<0$時，那麼該LP問題就是無界解。
這一點，在下面的這道例題中有所體現：

三、單純形表

四、大M法

它是衆多人工變量法的一種。其中，$M$稱爲罰因子，作用是迫使所有人工變量$X_{人}$出基（在初始時，人工變量就是基向量）。
那麼，

• M爲什麼能做到這一點呢？
  M可以視爲一個很大的數，而添加的人工變量都是非負的，那麼很容易看出人工變量是阻礙原標準型的目標函數$Max~z=CX-MX_{人}$達成目標的（目標是最大），於是，在單純形法的迭代過程中，經過逐層優化，會使得人工變量不斷地出基。

• 爲什麼要讓人工變量出基呢？
  需要注意到，原目標$Max~z=CX$是不包含人工變量的，要想在新模型中做到這一點，只能令$X_{人}=0$，而非基變量在最優解中是取0的，所以只需要讓人工變量出基即可。

• 人工變量構造出了單純形法需要的單位陣$I$，所以接下來只需要原單純形法即可。
  

• 計算單純性表時，注意：人工變量出基後，不會再進基，故其出基後的係數列不必再參加迭代運算，也就不用再算了。

• 人工變量與鬆弛變量的區別：
  鬆弛變量是爲了把不等式化成等式時加的，有實際意義–表示對應原材料的剩餘量；
  而，人工變量是在等式上加的，只是爲了湊出初始基矩陣$I$（單位陣），並無實際意義。
  但二者都是非負的，滿足非負約束條件。

1.2 單純形法名詞術語
結構變量――structure variable
人工變量――artificial variable
自由變量――free variable
鬆弛變量――slack variable
剩餘變量――surplus variable
圖解法――diagram method
可行域――feasible region
凸多面體――convex polyhedron
頂點（角點）――corner-point
單純形法――Simplex method
單純形表――simplex tableau
基――basic matrix
初始基――initial basis
可行基――feasible basis
最優基――optimal basis
基變量――basic variable
非基變量――nonbasic variable
可行解――feasible solution
基本解――basic solution
基本可行解――basic feasible solution
初始基本可行解――initial basic feasible solution
非退化基本可行解――nondegenerate basic feasible solution
最優解――optimal solution
檢驗數――test number
進基變量――entering basic variable
出基變量――leaving basic variable
主元――pivot number
換基迭代――basis iteration
多個最優解――multiple optimal solutions
無解――no solutions
無界――unbounded
矩陣形式――matrix form
字典序法――dictionary ordered method
布蘭德法則――Bland rule
大M法――big M method
兩階段單純形法――two-phase simplex method

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對單純形法的另一種表達和理解方式：

由於$X_{B}=B^{-1}b-B^{-1}NX_{N}$(用分塊矩陣表示線性規劃問題的約束條件，再化簡即可得到該式)。

經過對基變量進行高斯消元，從而把該線性規劃問題用一種新的形式表現出來，即proper form
此時，目標函數非基變量對應的係數就是各自的檢驗數，

基本可行解的最優性檢驗：
下面所提到的式子（1.10）和（1.11）在上上張圖中可以看到。

如果目標函數是min，則非基變量檢驗數$\sigma_{m+k}$大於等於0變成了是我們需要的。而在目標函數max情況下，它是要出基的，也就是不需要。
單純性表：