計算方法實驗（四）：牛頓迭代法

Newton迭代法數學原理

求非線性方程$f(x) = 0$的根$x^{*}$，牛頓迭代法計算公式

$x_{0} = \alpha$

$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f^{'}(x_{n})}$

$n = 0,1,\cdots$

一般地，牛頓迭代法具有局部收斂性，爲保證迭代收斂，要求，對充分小的$\delta > 0$，$\alpha \in O(x^{*},\delta)$。如果$f(x) \in C^{2}\lbrack a,b\rbrack$，$f(x^{*}) = 0$，$f^{'}(x^{*}) \neq 0$，那麼，對充分小的$\delta > 0$，當$\alpha \in O(x^{*},\delta)$時，由牛頓迭代法計算出的$\{ x_{n}\}$收斂於$x^{*}$，且收斂速度是2階的；如果$f(x) \in C^{m}\lbrack a,b\rbrack$，$f(x^{*}) = f^{'}(x^{*}) = \cdots = f^{(m - 1)}(x^{*}) = 0$，$f^{(m)}(x^{*}) \neq 0(m > 1)$，那麼，對充分小的$\delta > 0$，當$\alpha \in O(x^{*},\delta)$時，由牛頓迭代法計算出的$\{ x_{n}\}$收斂於$x^{*}$，且收斂速度是1階的；

問題

利用牛頓迭代法求$f(x) = 0$的根

輸入：初值$\alpha$，精度$\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}$，最大迭代次數$N$

輸 出：方程$f(x) = 0$根$x^{*}$的近似值或計算失敗標誌

程序流程

核心代碼

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

double x, e1, e2;
int n;

double f(double x) { return cos(x) - x; }
double df(double x) { return -sin(x) - 1; }

int main() {
    scanf("%lf%lf%lf%d", &x, &e1, &e2, &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        double F = f(x), DF = df(x);
        if (fabs(F) < e1) {
            printf("%lf", x);
            return 0;
        }
        if (fabs(DF) < e2) {
            printf("Failed");
            return 0;
        }
        double x1 = x - F / DF;
        double tol = fabs(x - x1);
        if (tol < e1) {
            printf("%lf", x1);
            return 0;
        }
        x = x1;
    }
    printf("Failed");
    return 0;
}

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