【Leetcode】258. Add Digits

題目地址：

https://leetcode.com/problems/add-digits/

給定一個非負整數$n$，加總其各位數之和得到另一個整數，再重複做此操作直到得到一位數。求那個一位數。

首先如果這個數本身就是一位數，則返回自己；否則判斷一下其能否被$9$整除，如果能則返回$9$，否則返回餘數。代碼如下：

public class Solution {
    public int addDigits(int num) {
        if (num < 10) {
            return num;
        }
        
        int res = num % 9;
        return res == 0 ? 9 : res;
    }
}

時空複雜度$O(1)$。

算法正確性證明：
設$x=a_0+a_110+a_210^2+...+a_n10^n$，則$x\equiv\sum_{i=0}^na_i (\mod 9)$所以最後所得的一位數與其各位數之和模$9$同餘。然而非零數各位數之和最後算出來不可能是$0$，所以只能是$9$。

然而爲什麼最後一定會得到一個一位數呢（嚴格來說這個”非常顯然“的結論也是需要證明的）？可以由$\sum_{i=0}^na_i<x$再加上數學歸納法證明。這裏就不證了。