【Leetcode】1018. Binary Prefix Divisible By 5

題目地址：

https://leetcode.com/problems/binary-prefix-divisible-by-5/

給定一個$0-1$數組$A$，要求返回一個boolean數組$B$，使得$B[i]$等於$A[0],A[1],...,A[i]$組成的二進制表示的數是否能被$5$整除。代碼如下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Solution {
    public List<Boolean> prefixesDivBy5(int[] A) {
        List<Boolean> res = new ArrayList<>(A.length);
        int cur = 0;
        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
        	// 算出前i個數字二進制表示的數後直接模5後判斷
            cur = ((cur << 1) + A[i]) % 5;
            res.add(cur == 0);
        }
        
        return res;
    }
}

時間複雜度$O(n)$，空間$O(1)$。

算法正確性證明：
對於$x$，求$x$對$5$的帶餘除法$x=5q+r$，其中$0\le r<5$。我們證明對於任意$c$，有$2x+c\equiv 2r+c(\mod 5)$。證明如下：$2x+c\equiv 2r+c(\mod 5)\\\Leftrightarrow2x\equiv 2r(\mod 5)\\\Leftrightarrow2(5q+r)\equiv 2r(\mod 5)\\\Leftrightarrow10q\equiv 0(\mod 5)$最後一行顯然成立。這就證明了爲什麼算法中可以直接每一步都取模，而不是保留原數。