【Leetcode】1018. Binary Prefix Divisible By 5

题目地址：

https://leetcode.com/problems/binary-prefix-divisible-by-5/

给定一个$0-1$数组$A$，要求返回一个boolean数组$B$，使得$B[i]$等于$A[0],A[1],...,A[i]$组成的二进制表示的数是否能被$5$整除。代码如下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Solution {
    public List<Boolean> prefixesDivBy5(int[] A) {
        List<Boolean> res = new ArrayList<>(A.length);
        int cur = 0;
        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
        	// 算出前i个数字二进制表示的数后直接模5后判断
            cur = ((cur << 1) + A[i]) % 5;
            res.add(cur == 0);
        }
        
        return res;
    }
}

时间复杂度$O(n)$，空间$O(1)$。

算法正确性证明：
对于$x$，求$x$对$5$的带余除法$x=5q+r$，其中$0\le r<5$。我们证明对于任意$c$，有$2x+c\equiv 2r+c(\mod 5)$。证明如下：$2x+c\equiv 2r+c(\mod 5)\\\Leftrightarrow2x\equiv 2r(\mod 5)\\\Leftrightarrow2(5q+r)\equiv 2r(\mod 5)\\\Leftrightarrow10q\equiv 0(\mod 5)$最后一行显然成立。这就证明了为什么算法中可以直接每一步都取模，而不是保留原数。