LeetCode——287寻找重复数 Floyd判圈

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums，其数字都在 1 到 n 之间（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。假设只有一个重复的整数，找出这个重复的数。

示例 1:

输入: [1,3,4,2,2]
输出: 2

示例 2:

输入: [3,1,3,4,2]
输出: 3

说明：

不能更改原数组（假设数组是只读的）。
只能使用额外的 O(1) 的空间。
时间复杂度小于 O(n2) 。
数组中只有一个重复的数字，但它可能不止重复出现一次。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/find-the-duplicate-number

题解

首先对nums数组进行建图，每个边都是$i\rightarrow nums[i]$。由于存在重复的数字，因此这个位置的数字一定存在最少两条边指向它。因此整个图一定存在一个环。而我们要找的这个重复的数字就是环的入口。

那么如果找出环的入口呢。首先我们设置两个指针，一个慢指针slow表示每一次只走一步，另一个指针是fast表示每一次都走两步。根据Floyd判圈算法。两个指针在有环的情况下一定会相遇。

我们假设环的长度为$L$，从起点到入口的步数为$a$，从环的入口继续走$b$步到达快慢指针相遇的位置。然后从相遇的位置继续走$c$步回到环的入口，那么$b+c=L$，显然$a,b,c$都是正整数。根据上述的定义，慢指针走了$a+b$步，而快指针走了$2(a+b)$步。从另一个角度考虑，在相遇的位置，快指针比慢指针走了若干圈环。因此快指针也可以表示为$a+b+kL$，其$k$表示快指针在环上走的圈数。因此
$2(a+b) = a+b+kL$
所以$a = kL-b$。
整理可得：
$a = (k-1)L+(L-b) = (k-1)L+c$
如果快慢指针的步数都是一样的，慢指针从起点出发，走了$a$步到达了环的入口，而快指针在相遇的位置出发，走了$(k-1)L+c$步，因为相遇的位置，相当于从入口走了$b$步，所以快指针也到达了环的入口。此时两个指针相遇。而这个相遇点就是环的入口。就是重复的数字。
因此这个题解答分为两个部分，一个是快慢指针步数不一致的时候的相遇点，作为快指针的起点。然后慢指针回到原点，快慢步数一致，然后在检测相遇点，就是答案。

func findDuplicate(nums []int) int {
    slow, fast := 0, 0
    for slow, fast = nums[slow], nums[nums[fast]]; slow != fast; slow, fast = nums[slow], nums[nums[fast]] { }
    slow = 0
    for slow != fast {
        slow = nums[slow]
        fast = nums[fast]
    }
    return slow
}