Leetcode——1406.石子游戲III

石子游戲III

Alice 和 Bob 用幾堆石子在做遊戲。幾堆石子排成一行，每堆石子都對應一個得分，由數組 stoneValue 給出。

Alice 和 Bob 輪流取石子，Alice 總是先開始。在每個玩家的回合中，該玩家可以拿走剩下石子中的的前 1、2 或 3 堆石子 。比賽一直持續到所有石頭都被拿走。

每個玩家的最終得分爲他所拿到的每堆石子的對應得分之和。每個玩家的初始分數都是 0 。比賽的目標是決出最高分，得分最高的選手將會贏得比賽，比賽也可能會出現平局。

假設 Alice 和 Bob 都採取 最優策略 。如果 Alice 贏了就返回 “Alice” ，Bob 贏了就返回 “Bob”，平局（分數相同）返回 “Tie” 。

示例1

輸入：values = [1,2,3,7]
輸出：“Bob”
解釋：Alice 總是會輸，她的最佳選擇是拿走前三堆，得分變成 6 。但是 Bob

示例2

輸入：values = [1,2,3,-9]
輸出：“Alice”
解釋：Alice 要想獲勝就必須在第一個回合拿走前三堆石子，給 Bob 留下負分。
如果 Alice 只拿走第一堆，那麼她的得分爲 1，接下來 Bob 拿走第二、三堆，得分爲 5 。之後 Alice 只能拿到分數 -9 的石子堆，輸掉比賽。
如果 Alice 拿走前兩堆，那麼她的得分爲 3，接下來 Bob 拿走第三堆，得分爲 3 。之後 Alice 只能拿到分數 -9 的石子堆，同樣會輸掉比賽。
注意，他們都應該採取 最優策略 ，所以在這裏 Alice 將選擇能夠使她獲勝的

示例3

輸入：values = [1,2,3,6]
輸出：“Tie”
解釋：Alice 無法贏得比賽。如果她決定選擇前三堆，她可以以平局結束比賽，否則她就會輸。

示例4

輸入：values = [1,2,3,-1,-2,-3,7]
輸出：“Alice”

提示

$1 \le values.length \le 50000$

$-1000 \le values[i] \le 1000$

題解

有趣的一道零和博弈的題，每堆石子有個分數。

設$dp[i]$表示$[i\cdots n]$堆的石子中先手最大得到的分數。

那麼顯然$dp[n]$表示$[n\cdots n]$堆的石子最大的得分就是$stoneValue[n]$， 即$dp[n] = stoneValue[n]$

那麼對於其他的$dp[i]$有三種選擇

• 取一堆石子，能夠得到的分數爲$stoneValue[i] + sum[i+1]-dp[i+1]$

其中$sum[i+1]$表示$[i+1\cdots n]$的石子分數和，那麼$sum[i+1]-dp[i+1]$表示先手後能夠再得到的分數

同理

• 取兩堆石子，能夠得到的分數爲$stoneValue[i,i+1] + sum[i+2]-dp[i+2]$
• 取三堆石子，能夠得到的分數爲$stoneValue[i,i+1,i+2]+sum[i+3]-dp[i+3]$

那麼對於得到分數方程可以化簡一下$stoneValue[i]+sum[i+1] = sum[i]$

那麼最終的轉移方程爲
$dp[i] = \max sum[i] -dp[i+j] \quad for\ i =1 \cdots 3$
最終的結果就是查看

$sum[1] - dp[1]$與$dp[1]$的關係，得到最終的結果。

代碼

func max(a, b int) int {
    if a> b{
        return a
    }
    return b 
}
func stoneGameIII(stoneValue []int) string {
    var dp [51000]int 
    var sum int  = 0
    n := len(stoneValue)
    for i := n-1;i>=0;i-- {
        sum += stoneValue[i]
        dp[i] = -0x7FFFFFFE
        for j:=1;j<=3;j++{
            dp[i] = max(dp[i], sum-dp[i+j])
        }
    }
    if sum - dp[0] == dp[0] {
        return "Tie"
    } else if sum-dp[0] < dp[0] {
        return "Alice"
    } else {
        return "Bob"
    }
}