[TJOI2013]松鼠聚會

傳送門

題意爲給定一些點，選其中一個點使其他點到這個點的切比雪夫距離之和最小，求出最小距離。

切比雪夫距離=$\max(\Delta x,\Delta y)$，因爲取$max$不太好優化，我們可以把它轉化爲曼哈頓距離$(\Delta x+\Delta y)$來做。

將$(x,y)$變爲$(\frac{x+y}2,\frac{x−y}2)$ 後，原座標系中的切比雪夫距離$=$新座標系中的曼哈頓距離

將$(x,y)$變爲$(x+y,x−y)$後，原座標系中的曼哈頓距離$=$新座標系中的切比雪夫距離

如果$x,y$數組都是有序的，那麼

$ans_x=\sum ^{n}_{j=1}\Delta(j,i)$

$=\Delta x(1,i)+\Delta x(2,i)+\Delta x(3,i)+...+\Delta x(n,i)$

$=(x_i-x_1)+(x_i-x_2)+...+(x_i-x_{i-1})+(x_{i+1}-x_i)+(x_{i+2}-x_i)+(x_n-x_i)$

$=\sum_{j=1}^{i-1}(x_i-x_j)+\sum_{j=i+1}^n(x_j-x_i)$

$=\sum_{j=1}^n x_j-2\times\sum_{j=1}^i x_j-x_i\times(n-2\times i)$

然後就用前綴和優化一下

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+5;
#define getchar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=(x+(x<<2)<<1)+c-48;
	return x*f;
}
struct A{ll x,y;}a[N];ll x[N],y[N],s1[N],s2[N],ans=1ll<<62;int n,p,u,v;
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) u=read(),v=read(),a[i].x=x[i]=u+v,a[i].y=y[i]=u-v;
	sort(x+1,x+n+1);sort(y+1,y+n+1);
	for(int i=1;i<=n;++i) s1[i]=s1[i-1]+x[i],s2[i]=s2[i-1]+y[i];
	for(int i=1;i<=n;++i){
        ll tmp=0;
        p=lower_bound(x+1,x+n+1,a[i].x)-x;tmp+=s1[n]-2*s1[p]-a[i].x*(n-2*p);
        p=lower_bound(y+1,y+n+1,a[i].y)-y;tmp+=s2[n]-2*s2[p]-a[i].y*(n-2*p);
        ans=min(ans,tmp);
	}return !printf("%lld",ans>>1);
}