http://blog.csdn.net/scyscyao/article/details/5987581
這學期選了門模式識別的課。發現最常見的一種情況就是，書上寫的老師ppt上寫的都看不懂，然後繞了一大圈去自己查資料理解，回頭看看發現，Ah-ha，原來本質的原理那麼簡單，自己一開始只不過被那些看似formidable的細節嚇到了。所以在這裏把自己所學的一些點記錄下來，供備忘，也供參考。
1. K-Nearest Neighbor
K-NN可以說是一種最直接的用來分類未知數據的方法。基本通過下面這張圖跟文字說明就可以明白K-NN是幹什麼的
簡單來說，K-NN可以看成：有那麼一堆你已經知道分類的數據，然後當一個新數據進入的時候，就開始跟訓練數據裏的每個點求距離，然後挑離這個訓練數據最近的K個點看看這幾個點屬於什麼類型，然後用少數服從多數的原則，給新數據歸類。一個比較好的介紹k-NN的課件可以見下面鏈接，圖文並茂，我當時一看就懂了
http://courses.cs.tamu.edu/rgutier/cs790_w02/l8.pdf
實際上K-NN本身的運算量是相當大的，因爲數據的維數往往不止2維，而且訓練數據庫越大，所求的樣本間距離就越多。就拿我們course project的人臉檢測來說，輸入向量的維數是1024維(32x32的圖，當然我覺得這種方法比較silly)，訓練數據有上千個，所以每次求距離(這裏用的是歐式距離，就是我們最常用的平方和開根號求距法) 這樣每個點的歸類都要花上上百萬次的計算。所以現在比較常用的一種方法就是kd-tree。也就是把整個輸入空間劃分成很多很多小子區域，然後根據臨近的原則把它們組織爲樹形結構。然後搜索最近K個點的時候就不用全盤比較而只要比較臨近幾個子區域的訓練數據就行了。kd-tree的一個比較好的課件可以見下面鏈接：
http://www.inf.ed.ac.uk/teaching/courses/inf2b/learnnotes/inf2b-learn06-lec.pdf
http://www.math.ucsd.edu/~gptesler/283/pca_07-handout.pdf
4. Linear Discriminant Analysis
LDA，基本和PCA是一對雙生子，它們之間的區別就是PCA是一種unsupervised的映射方法而LDA是一種supervised映射方法，這一點可以從下圖中一個2D的例子簡單看出
圖的左邊是PCA，它所作的只是將整組數據整體映射到最方便表示這組數據的座標軸上，映射時沒有利用任何數據內部的分類信息。因此，雖然做了PCA後，整組數據在表示上更加方便(降低了維數並將信息損失降到最低)，但在分類上也許會變得更加困難；圖的右邊是LDA，可以明顯看出，在增加了分類信息之後，兩組輸入映射到了另外一個座標軸上，有了這樣一個映射，兩組數據之間的就變得更易區分了(在低維上就可以區分，減少了很大的運算量)。
PCA 是無監督的，它所作的只是將整組數據整體映射到最方便表示這組數據的座標軸上，映射時沒有利用任何數據內部的分類信息
用主要的特徵代替其他相關的非主要的特徵，所有特徵之間的相關度越高越好
但是分類任務的特徵可能是相互獨立的
LDA是有監督的，使得類別內的點距離越近越好（集中），類別間的點越遠越好。
在實際應用中，最常用的一種LDA方法叫作Fisher Linear Discriminant，其簡要原理就是求取一個線性變換，是的樣本數據中“between classes scatter matrix”(不同類數據間的協方差矩陣)和“within classes scatter matrix”(同一類數據內部的各個數據間協方差矩陣)之比的達到最大。關於Fisher LDA更具體的內容可以見下面課件，寫的很不錯~
http://www.csd.uwo.ca/~olga/Courses//CS434a_541a//Lecture8.pdf
5. Non-negative Matrix Factorization
NMF，中文譯爲非負矩陣分解。一篇比較不錯的NMF中文介紹文可以見下面一篇博文的鏈接，《非負矩陣分解：數學的奇妙力量》
http://chnfyn.blog.163.com/blog/static/26954632200751625243295/
這篇博文很大概地介紹了一下NMF的來龍去脈(當然裏面那幅圖是錯的。。。)，當然如果你想更深入地瞭解NMF的話，可以參考Lee和Seung當年發表在Nature上面的NMF原文，"Learning the parts of objects by non-negative matrix factorization"
http://www.seas.upenn.edu/~ddlee/Papers/nmf.pdf
讀了這篇論文，基本其他任何介紹NMF基本方法的材料都是浮雲了。
NMF，簡而言之，就是給定一個非負矩陣V，我們尋找另外兩個非負矩陣W和H來分解它，使得後W和H的乘積是V。論文中所提到的最簡單的方法，就是根據最小化||V-WH||的要求，通過Gradient Discent推導出一個update rule，然後再對其中的每個元素進行迭代，最後得到最小值，具體的update rule見下圖，注意其中Wia等帶下標的符號表示的是矩陣裏的元素，而非代表整個矩陣，當年在這個上面繞了好久。。
當然上面所提的方法只是其中一種而已，在http://spinner.cofc.edu/~langvillea/NISS-NMF.pdf中有更多詳細方法的介紹。
相比於PCA、LDA，NMF有個明顯的好處就是它的非負，因爲爲在很多情況下帶有負號的運算算起來都不這麼方便，但是它也有一個問題就是NMF分解出來的結果不像PCA和LDA一樣是恆定的。
6. Gaussian Mixture Model
GMM高斯混合模型粗看上去跟上文所提的貝葉斯分類器有點類似，但兩者的方法有很大的不同。在貝葉斯分類器中，我們已經事先知道了訓練數據(training set)的分類信息，因此只要根據對應的均值和協方差矩陣擬合一個高斯分佈即可。而在GMM中，我們除了數據的信息，對數據的分類一無所知，因此，在運算時我們不僅需要估算每個數據的分類，還要估算這些估算後數據分類的均值和協方差矩陣。。。也就是說如果有1000個訓練數據10租分類的話，需要求的未知數是1000+10+10(用未知數表示未必確切，確切的說是1000個1x10標誌向量,10個與訓練數據同維的平均向量，10個與訓練數據同維的方陣)。。。反正想想都是很頭大的事情。。。那麼這個問題是怎麼解決的呢？
這裏用的是一種叫EM迭代的方法。
具體使用方法可以參考http://neural.cs.nthu.edu.tw/jang/books/dcpr/doc/08gmm.pdf 這份臺灣清華大學的課件，寫的真是相當的贊，實現代碼的話可以參考：
1. 倩倩的博客http://www.cnblogs.com/jill_new/archive/2010/12/01/1893851.html 和
2. http://www.cs.ru.nl/~ali/EM.m
當然 Matlab裏一般也會自帶GMM工具箱，其用法可以參考下面鏈接：
http://www.mathworks.com/help/toolbox/stats/gmdistribution.fit.html
http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/08/lda-and-pca-machine-learning.html
LDA：
LDA的全稱是Linear Discriminant Analysis（線性判別分析），是一種supervised learning。有些資料上也稱爲是Fisher’s Linear Discriminant，因爲它被Ronald Fisher發明自1936年，Discriminant這次詞我個人的理解是，一個模型，不需要去通過概率的方法來訓練、預測數據，比如說各種貝葉斯方法，就需要獲取數據的先驗、後驗概率等等。LDA是在目前機器學習、數據挖掘領域經典且熱門的一個算法，據我所知，百度的商務搜索部裏面就用了不少這方面的算法。
LDA的原理是，將帶上標籤的數據（點），通過投影的方法，投影到維度更低的空間中，使得投影后的點，會形成按類別區分，一簇一簇的情況，相同類別的點，將會在投影后的空間中更接近。要說明白LDA，首先得弄明白線性分類器(Linear Classifier)：因爲LDA是一種線性分類器。對於K-分類的一個分類問題，會有K個線性函數：
當滿足條件：對於所有的j，都有Yk > Yj,的時候，我們就說x屬於類別k。對於每一個分類，都有一個公式去算一個分值，在所有的公式得到的分值中，找一個最大的，就是所屬的分類了。
上式實際上就是一種投影，是將一個高維的點投影到一條高維的直線上，LDA最求的目標是，給出一個標註了類別的數據集，投影到了一條直線之後，能夠使得點儘量的按類別區分開，當k=2即二分類問題的時候，如下圖所示：
紅色的方形的點爲0類的原始點、藍色的方形點爲1類的原始點，經過原點的那條線就是投影的直線，從圖上可以清楚的看到，紅色的點和藍色的點被原點明顯的分開了，這個數據只是隨便畫的，如果在高維的情況下，看起來會更好一點。下面我來推導一下二分類LDA問題的公式：
假設用來區分二分類的直線（投影函數)爲：
LDA分類的一個目標是使得不同類別之間的距離越遠越好，同一類別之中的距離越近越好，所以我們需要定義幾個關鍵的值。
類別i的原始中心點爲：（Di表示屬於類別i的點)
類別i投影后的中心點爲：
衡量類別i投影后，類別點之間的分散程度（方差）爲：
最終我們可以得到一個下面的公式，表示LDA投影到w後的損失函數：
我們分類的目標是，使得類別內的點距離越近越好（集中），類別間的點越遠越好。分母表示每一個類別內的方差之和，方差越大表示一個類別內的點越分散，分子爲兩個類別各自的中心點的距離的平方，我們最大化J(w)就可以求出最優的w了。想要求出最優的w，可以使用拉格朗日乘子法，但是現在我們得到的J(w)裏面，w是不能被單獨提出來的，我們就得想辦法將w單獨提出來。
我們定義一個投影前的各類別分散程度的矩陣，這個矩陣看起來有一點麻煩，其實意思是，如果某一個分類的輸入點集Di裏面的點距離這個分類的中心店mi越近，則Si裏面元素的值就越小，如果分類的點都緊緊地圍繞着mi，則Si裏面的元素值越更接近0.
帶入Si，將J(w)分母化爲：
同樣的將J(w)分子化爲：
這樣損失函數可以化成下面的形式：
這樣就可以用最喜歡的拉格朗日乘子法了，但是還有一個問題，如果分子、分母是都可以取任意值的，那就會使得有無窮解，我們將分母限制爲長度爲1（這是用拉格朗日乘子法一個很重要的技巧，在下面將說的PCA裏面也會用到，如果忘記了，請複習一下高數），並作爲拉格朗日乘子法的限制條件，帶入得到：
這樣的式子就是一個求特徵值的問題了。
對於N(N>2)分類的問題，我就直接寫出下面的結論了：
這同樣是一個求特徵值的問題，我們求出的第i大的特徵向量，就是對應的Wi了。
這裏想多談談特徵值，特徵值在純數學、量子力學、固體力學、計算機等等領域都有廣泛的應用，特徵值表示的是矩陣的性質，當我們取到矩陣的前N個最大的特徵值的時候，我們可以說提取到的矩陣主要的成分（這個和之後的PCA相關，但是不是完全一樣的概念）。在機器學習領域，不少的地方都要用到特徵值的計算，比如說圖像識別、pagerank、LDA、還有之後將會提到的PCA等等。
下圖是圖像識別中廣泛用到的特徵臉（eigen face），提取出特徵臉有兩個目的，首先是爲了壓縮數據，對於一張圖片，只需要保存其最重要的部分就是了，然後是爲了使得程序更容易處理，在提取主要特徵的時候，很多的噪聲都被過濾掉了。跟下面將談到的PCA的作用非常相關。
特徵值的求法有很多，求一個D * D的矩陣的時間複雜度是O(D^3), 也有一些求Top M的方法，比如說power method，它的時間複雜度是O(D^2 * M), 總體來說，求特徵值是一個很費時間的操作，如果是單機環境下，是很侷限的。
PCA：
主成分分析（PCA）與LDA有着非常近似的意思，LDA的輸入數據是帶標籤的，而PCA的輸入數據是不帶標籤的，所以PCA是一種unsupervised learning。LDA通常來說是作爲一個獨立的算法存在，給定了訓練數據後，將會得到一系列的判別函數（discriminate function），之後對於新的輸入，就可以進行預測了。而PCA更像是一個預處理的方法，它可以將原本的數據降低維度，而使得降低了維度的數據之間的方差最大（也可以說投影誤差最小，具體在之後的推導裏面會談到）。
方差這個東西是個很有趣的，有些時候我們會考慮減少方差（比如說訓練模型的時候，我們會考慮到方差-偏差的均衡），有的時候我們會盡量的增大方差。方差就像是一種信仰（強哥的話），不一定會有很嚴密的證明，從實踐來說，通過儘量增大投影方差的PCA算法，確實可以提高我們的算法質量。
說了這麼多，推推公式可以幫助我們理解。我下面將用兩種思路來推導出一個同樣的表達式。首先是最大化投影后的方差，其次是最小化投影后的損失（投影產生的損失最小）。
最大化方差法：
假設我們還是將一個空間中的點投影到一個向量中去。首先，給出原空間的中心點：
假設u1爲投影向量，投影之後的方差爲：
上面這個式子如果看懂了之前推導LDA的過程，應該比較容易理解，如果線性代數裏面的內容忘記了，可以再溫習一下，優化上式等號右邊的內容，還是用拉格朗日乘子法：
將上式求導，使之爲0，得到：
這是一個標準的特徵值表達式了，λ對應的特徵值，u對應的特徵向量。上式的左邊取得最大值的條件就是λ1最大，也就是取得最大的特徵值的時候。假設我們是要將一個D維的數據空間投影到M維的數據空間中（M < D)， 那我們取前M個特徵向量構成的投影矩陣就是能夠使得方差最大的矩陣了。
最小化損失法：
假設輸入數據x是在D維空間中的點，那麼，我們可以用D個正交的D維向量去完全的表示這個空間（這個空間中所有的向量都可以用這D個向量的線性組合得到）。在D維空間中，有無窮多種可能找這D個正交的D維向量，哪個組合是最合適的呢？
假設我們已經找到了這D個向量，可以得到：
我們可以用近似法來表示投影后的點：
上式表示，得到的新的x是由前M 個基的線性組合加上後D - M個基的線性組合，注意這裏的z是對於每個x都不同的，而b對於每個x是相同的，這樣我們就可以用M個數來表示空間中的一個點，也就是使得數據降維了。但是這樣降維後的數據，必然會產生一些扭曲，我們用J描述這種扭曲，我們的目標是，使得J最小：
上式的意思很直觀，就是對於每一個點，將降維後的點與原始的點之間的距離的平方和加起來，求平均值，我們就要使得這個平均值最小。我們令：
將上面得到的z與b帶入降維的表達式：
將上式帶入J的表達式得到：
再用上拉普拉斯乘子法（此處略），可以得到，取得我們想要的投影基的表達式爲：
這裏又是一個特徵值的表達式，我們想要的前M個向量其實就是這裏最大的M個特徵值所對應的特徵向量。證明這個還可以看看，我們J可以化爲：
也就是當誤差J是由最小的D - M個特徵值組成的時候，J取得最小值。跟上面的意思相同。
下圖是PCA的投影的一個表示，黑色的點是原始的點，帶箭頭的虛線是投影的向量，Pc1表示特徵值最大的特徵向量，pc2表示特徵值次大的特徵向量，兩者是彼此正交的，因爲這原本是一個2維的空間，所以最多有兩個投影的向量，如果空間維度更高，則投影的向量會更多。
總結：
本次主要講了兩種方法，PCA與LDA，兩者的思想和計算方法非常類似，但是一個是作爲獨立的算法存在，另一個更多的用於數據的預處理的工作。另外對於PCA和LDA還有核方法，本次的篇幅比較大了，先不說了，以後有時間再談：