算法：數位DP

數位DP

問題

求區間$[L, R]$中滿足條件的數有多少個， $0 \le L \le R$，該條件與數位有關，比如不包含數字$4$。

思路

考慮函數$cal(n)$表示區間$[0, n]$中滿足條件的數的個數，那麼區間$[L, R]$中滿足條件的數的個數爲$cal(R) - cal(L-1)$。
然後用動態規劃的方法求$cal(n)$。求出$n$的每一位數字以及長度$len$，用數組$dp[i][j]$表示長度爲$i$首位爲$j$的滿足條件的數的個數，那麼$dp[i][0]$表示長度爲$i$的滿足條件的後綴的個數，而$dp[len][0]$表示所有長度小於$len$的滿足條件的數的個數，令$ans = dp[len][0]$。
最後求出所有長度爲$len$的滿足條件的數的個數。對於$n$從高位到低位，計算所有最高的$(i-1)$位與$n$相同且第$i$位比$n$小的滿足條件的數的個數，設$n$的第$i$位數字爲$d_i$，則$ans = ans + \sum^{d_i-1}_0 dp[i][d_i]$，如果$n$從第$i$位開始不滿足條件就退出循環。若$n$本身滿足條件，則$ans = ans + 1$。那麼$cal(n) = ans$。

時間複雜度

$O(\log n)$。實際上爲$n$的位數，而$n$的位數可以表示爲$\lg n$，即$\frac {\log n}{\log 10}$，$\log$默認爲以$2$爲底的對數。

測試

HDU: 2089
LeetCode: 902

模板

#include <iostream>
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>

typedef long long LL;
const int N = 20;  // the maximal number of digits


LL dp[N][10];  // dp[i][j] is the amount of numbers with i digits and first digit j
int nums[N];  // the digits of n

/**
  * @param n: the maximal number
  * @return: the amount of numbers from 0 to n
  */
LL cal(LL n) {
  int len = 0;  // the length of n

  // nums[i] is the i-th digit of n from right to left
  while (n > 0) {
    nums[++len] = n % 10;
    n /= 10;
  }

  memset(dp, 0, sizeof(dp));
  for (int i = 1; i <= len; ++i) {
    for (int j = 0; j <= 9; ++j) {
      /*
        update: dp[i][j]
      */
    }
  }

  LL ans = dp[len][0];  // the numbers with length shorter than n
  dp[len][0] = 0;
  int pos;  // the position of the digits of n
  for (pos = len; pos >= 1; --pos) {
    for (int j = 0; j < nums[pos]; ++j) {
      /*
        condition: continue
      */
      ans += dp[pos][j];  // the numbers less than n
    }
    /*
      condition: break
    */
    if (dp[pos][nums[pos]] == 0) break;  // no more numbers
  }
  if (pos == 0) ++ans;  // n

  return ans;
}

參考

數位DP講解