算法：数位DP

数位DP

问题

求区间$[L, R]$中满足条件的数有多少个， $0 \le L \le R$，该条件与数位有关，比如不包含数字$4$。

思路

考虑函数$cal(n)$表示区间$[0, n]$中满足条件的数的个数，那么区间$[L, R]$中满足条件的数的个数为$cal(R) - cal(L-1)$。
然后用动态规划的方法求$cal(n)$。求出$n$的每一位数字以及长度$len$，用数组$dp[i][j]$表示长度为$i$首位为$j$的满足条件的数的个数，那么$dp[i][0]$表示长度为$i$的满足条件的后缀的个数，而$dp[len][0]$表示所有长度小于$len$的满足条件的数的个数，令$ans = dp[len][0]$。
最后求出所有长度为$len$的满足条件的数的个数。对于$n$从高位到低位，计算所有最高的$(i-1)$位与$n$相同且第$i$位比$n$小的满足条件的数的个数，设$n$的第$i$位数字为$d_i$，则$ans = ans + \sum^{d_i-1}_0 dp[i][d_i]$，如果$n$从第$i$位开始不满足条件就退出循环。若$n$本身满足条件，则$ans = ans + 1$。那么$cal(n) = ans$。

时间复杂度

$O(\log n)$。实际上为$n$的位数，而$n$的位数可以表示为$\lg n$，即$\frac {\log n}{\log 10}$，$\log$默认为以$2$为底的对数。

测试

HDU: 2089
LeetCode: 902

模板

#include <iostream>
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>

typedef long long LL;
const int N = 20;  // the maximal number of digits


LL dp[N][10];  // dp[i][j] is the amount of numbers with i digits and first digit j
int nums[N];  // the digits of n

/**
  * @param n: the maximal number
  * @return: the amount of numbers from 0 to n
  */
LL cal(LL n) {
  int len = 0;  // the length of n

  // nums[i] is the i-th digit of n from right to left
  while (n > 0) {
    nums[++len] = n % 10;
    n /= 10;
  }

  memset(dp, 0, sizeof(dp));
  for (int i = 1; i <= len; ++i) {
    for (int j = 0; j <= 9; ++j) {
      /*
        update: dp[i][j]
      */
    }
  }

  LL ans = dp[len][0];  // the numbers with length shorter than n
  dp[len][0] = 0;
  int pos;  // the position of the digits of n
  for (pos = len; pos >= 1; --pos) {
    for (int j = 0; j < nums[pos]; ++j) {
      /*
        condition: continue
      */
      ans += dp[pos][j];  // the numbers less than n
    }
    /*
      condition: break
    */
    if (dp[pos][nums[pos]] == 0) break;  // no more numbers
  }
  if (pos == 0) ++ans;  // n

  return ans;
}

参考

数位DP讲解