一、多階段決策過程的最優化問題
在現實生活中,有類活 動的過程，由於 它的特殊性，可將過程分成若干個互相階段。在它的每一階段都需要作出決策,從而使整個過程達到最好的活動效果。當階段決策的選取不是任意確定的，它依賴於當前面臨的狀態,又影響以後的發展，當段決策確定後，就組成一個決策序列,因而也就確定了整個過程的一條活動路線,這個問題看作是個前後關聯具有鏈狀結構的 多階段過程就稱爲多階段決策過程，這就稱爲多階段決策問題。
多階段決策過程,是指這樣的一類特殊的活動過程,問題可以按時間順序分解互聯繫的階段，在每-個階段都要作出決策,全部過程的決策是-個決策序列。
二、能採用動態規劃求解的問題的一般要具有3個性質：
最優化原理：如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，就稱該問題具有最優子結構，即滿足最優化原理。
無後效性：即某階段狀態一旦確定，就不受這個狀態以後決策的影響。也就是說，某狀態以後的過程不會影響以前的狀態，只 與當前狀態有關。
有重疊子問題：即子問題之間是不獨立的，一個子問題在下一階段決策中可能被多次使用到。（該性質並不是動態規劃適用的必要條件，但是如果沒有這條性質，動態規劃算法同其他算法相比就不具備優勢）
三、動態規劃基本概念
狀態：描述事物的性質，不同事物有不同的性質，因而用不同的狀態來刻畫。對問題的求解狀態的描述是分階段的。
決策：根據題意要求，對每個階段所做出的某種選擇性操作。
狀態轉移方程：用數學公式描述與階段相關的狀態間的演變規律。
四、解題步驟：
- 拆分問題
- 定義狀態(並找出初狀態)
- 狀態轉移方程
五、模型方法
第一種遞歸搜索法。
第二種遞歸搜索法+記憶。
第三種遞推式法。
六、例題
數塔問題
思路分析：
貪心不可解，每一步都會影響後續的操作。
在用動態規劃考慮數塔問題時可以自頂向下的分析，自底向上的計算。
從頂點出發時到底向左走還是向右走應取決於是從左走能取到最大值還是從右走能取到最大值，只要左右兩道路徑上的最大值求出來了才能作出決策。同樣的道理下一層的走向又要取決於再下一層上的最大值是否已經求出才能決策。這樣一層一層推下去，直到倒數第二層時就非常明瞭。
所以第一步對第五層的8個數據，做如下四次決策：
如果經過第四層2，則在第五層的19和7中肯定是19；
如果經過第四層18，則在第五層的7和10中肯定是10；
如果經過第四層9，則在第五層的10和4中肯定是10；
如果經過第四層5，則在第五層的4和16中肯定是16；
經過一次決策，問題降了一階。5層數塔問題轉換成4層數塔問題，如此循環決策…… 最後得到1階的數塔問題。
#include <bits/stdc++.h
using namespace std;
const int MAXN = 100+10;
int num[MAXN][MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int main()
{
int t;
scanf("%d", &t);
while( t-- )
{
memset(dp, 0, sizeof(dp));
int n;
scanf("%d", &n);
for( int i=1; i<=n; i++ )
{
for( int j=1; j<=i; j++ )
scanf("%d", &num[i][j]);
}
for( int j=1; j<=n; j++ )
dp[n][j] = num[n][j];
for( int i = n-1; i = 1; i-- )
{
for( int j=1; j <= i; j++ )
{
dp[i][j] = num[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]);
}
}
printf("%d\n", dp[1][1] );
}
return 0;
}
1.以上篇文章數塔爲例
上一章用的是遞歸的做法，這次我們採用遞推的做法。
遞歸：從已知問題的結果出發，用迭代表達式逐步推算出問題的開始的條件，即順推法的逆過程，稱爲遞歸。
遞推：遞推算法是一種用若干步可重複運算來描述複雜問題的方法。遞推是序列計算中的一種常用算法。通常是通過計算機前面的一些項來得出序列中的指定象的值。
遞歸與遞推區別：相對於遞歸算法,遞推算法免除了數據進出棧的過程，也就是說,不需要函數不斷的向邊界值靠攏,而直接從邊界出發,直到求出函數值。
斐波那契數列：已知f(1) = 1 , f(2) = 1 , 且滿足關係式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，則f(50)等於多少？
分析：根據初始條件f(1) = 1 , f(2) = 1 和關係式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，可知，f(3) = f(2) + f(1) , f(3) = f(2) + f(1) …….
編寫代碼（遞歸）
第四層的取值等於左下或者右下與自己的加和，第四層就有max{2+19，2+7} max{18+7,18+10} max{9+10,9+4} max{5+4,5+16}
結果第四層就變成了 21，28，19，21。這樣五層變成了四層。以此類推n層變爲n-1層到1層。更易求出最大值。
代碼實現過程如下
#include<bits/stdc++.h
using namespace std;
int main
{
int ob[10][10];
int temp;
cinN;//數塔層數
for(int i=0；i<N;i++)
{
for(t=0;t<=i;t++)
{
cina[i][j];
}
}
for(int i=N-1;i=1;i--)
{
for(int t=0;t<=i;t++)
{
temp=max{a[i+1][t],a[i+1][t+1]；
a[i][t]=a[i][t]+temp；
}
}
1、線性模型
線性模型的是動態規劃中最常用的模型，上文講到的最長單調子序列就是經典的線性模型，這裏的線性指的是狀態的排布是性的。
2、區間模型
區間模型的狀態表示一般爲d[i][j]，表示區間[i, j]上的最優解，然後通過狀態轉移計算出[i+1, j]或者[i, j+1]上的最優解，逐步擴大區間的範圍，最終求得[1, len]的最優解。
3、揹包模型
揹包問題是動態規劃中一個最典型的問題之一。由於網上有非常詳盡的揹包講解，這裏只將常用部分抽出來，具體推導過程詳見 《揹包九講》。
a.0/1揹包
有N種物品（每種物品1件）和一個容量爲V的揹包。放入第 i 種物品耗費的空間是Ci，得到 的價值是Wi。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
f[i][v]表示前i種物品恰好放入一個容量爲v的揹包可以獲得的最大價值。
決策爲第i個物品在前i-1個物品放置完畢後，是選擇放還是不放，狀態轉移方程爲：
f[i][v] = max{ f[i-1][v], f[i-1][v - Ci] +Wi }
時間複雜度O(VN)，空間複雜度O(VN) （空間複雜度可利用滾動數組進行優化達到O(V)，下文會介紹滾動數組優化）。
b.完全揹包
有N種物品（每種物品無限件）和一個容量爲V的揹包。放入第 i 種物品耗費的空間是Ci，得到 的價值是Wi。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
f[i][v]表示前i種物品恰好放入一個容量爲v的揹包可以獲得的最大價值。
f[i][v] = max{ f[i-1][v - kCi] + kWi | 0 <= k <= v/Ci } (當k的取值爲0,1時，這就是01揹包的狀態轉移方程）
時間複雜度O( VNsum{V/Ci} )，空間複雜度在用滾動數組優化後可以達到 O( V )。
進行優化後（此處省略500字），狀態轉移方程變成：
f[i][v] = max{ f[i-1][v], f[i][v - Ci] +Wi }
時間複雜度降爲 O(VN)。
c.多重揹包
有N種物品（每種物品Mi件）和一個容量爲V的揹包。放入第i種物品耗費的空間是Ci，得到 的價值是Wi。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
f[i][v]表示前i種物品恰好放入一個容量爲v的揹包可以獲得的最大價值。
f[i][v] = max{ f[i-1][v - kCi] + kWi | 0 <= k <= Mi }
時間複雜度O( Vsum(Mi) )， 空間複雜度仍然可以用滾動數組優化後可以達到 O( V )。
優化：採用二進制拆分物品，將Mi個物品拆分成容量爲1、2、4、8、... 2^k、Mi-( 2^(k+1) - 1 ) 個對應價值爲Wi、2Wi、4Wi、8Wi、...、2^kWi、（ Mi-( 2^(k+1) - 1 )
）Wi的物品，然後採用01揹包求解。 這樣做的時間複雜度降爲O(Vsum(logMi) )。找不到出處了
給定一個字符串s，你可以從中刪除一些字符，使得剩下的串是一個迴文串。如何刪除才能使得迴文串最長呢？ 輸出需要刪除的字符個數。
本題可轉化爲動態規劃算法求解最長公共子序列問題，然後用總字符串長度減去最長子序列長度，便得出問題的答案。
先將給定的初始字符串S1反過來排列，設爲S2，求S1和S2的最長公共子序列便可。C++代碼如下：
#include <iostream
#include <string
#include <algorithm
using namespace std;
int temp[100][100];
void caculate(string s1){
string s2(s1);
reverse(s2.begin(), s2.end());
int len = s1.length();
memset(temp, 0, sizeof(temp));
for (int i = 0; i<len; ++i)
{
for (int j = 0; j<len; ++j)
{
if (s1[i] == s2[j])
temp[i + 1][j + 1] = temp[i][j] + 1;
else
temp[i + 1][j + 1] = max(temp[i][j + 1], temp[i + 1][j]);
}
}
cout << len - temp[len][len] << endl;
}
int main()
{
string s;
getline(cin, s);
caculate(s);
system("pause");
return 0;
}
相關題目：
簡單基礎dp
hdu 2084 數塔 簡單從上往下遞推
hdu 2018 母牛的故事 簡單遞推計數
hdu 2044 一隻小蜜蜂… 簡單遞推計數（Fibonacci）
hdu 2041 超級樓梯 Fibonacci
hdu 2050 折線分割平面 找遞推公式
CF 429B B.Working out 四個角遞推
zoj 3747 Attack on Titans 帶限制條件的計數遞推dp
uva 10328 Coin Toss 同上題
hdu 4747 Mex
hdu 4489 The King’s Ups and Downs
hdu 4054 Number String
揹包
hdu 2955 Robberies 01揹包
hdu 1864 最大報銷額 01揹包
hdu 2602 Bone Collector 01揹包
hdu 2844 Coins 多重揹包
hdu 2159 FATE 完全揹包
woj 1537 A Stone-I 轉化成揹包
woj 1538 B Stone-II 轉化成揹包
poj 1170 Shopping Offers 狀壓+揹包
zoj 3769 Diablo III 帶限制條件的揹包
zoj 3638 Fruit Ninja 揹包的轉化成組合數學
hdu 3092 Least common multiple 轉化成完全揹包問題
poj 1015 Jury Compromise 擴大區間+輸出路徑
poj 1112 Team Them UP 圖論+揹包
LIS
hdu 1003 Max Sum
hdu 1087 Super Jumping!
uva 10635 Prince and Princess LCS轉化成LIS
hdu 4352 XHXJ’s LIS 數位dp+LIS思想
srm div2 1000 狀態壓縮+LIS
poj 1239 Increasing Sequence 兩次dp
LCS
hdu 1503 Advanced Fruits
hdu 1159 Common Subsequence
uva 111 History Grading
poj 1080 Human Gene Functions
區間dp
poj 1141 Brackets Sequence 括號匹配並輸出方案
hdu 4745 Two Rabbits 轉化成求迴文串
zoj 3541 The Last Puzzle 貪心+區間dp
poj 2955 Brackets
hdu 4283 You Are the One 常見寫法
hdu 2476 String Printer
zoj 3537 Cake
CF 149D Coloring Brackets
zoj 3469 Food Delivery
樹形dp
hdu 4123 Bob’s Race 二分+樹形dp+單調隊列
hdu 4514 求樹的直徑
poj 1655 Balancing Act
hdu 4714 Tree2Cycle 思維
hdu 4616 Game
hdu 4126 Genghis Kehan the Conqueror MST+樹形dp 比較經典
hdu 4756 Install Air Conditioning MST+樹形dp 同上
hdu 3660 Alice and Bob’s Trip 有點像對抗搜索
CF 337D Book of Evil 樹直徑的思想 思維
hdu 2196 Computer 搜兩遍
數位dp
hdu 2089 不要62 簡單數位dp
hdu 3709 Balanced Number 比較簡單
CF 401D Roman and Numbers 狀壓+數位dp
hdu 4398 X mod f(x) 把模數加進狀態裏面
hdu 4734 F(x) 簡單數位dp
hdu 3693 Math teacher’s homework 思維變換的數位dp
hdu 4352 XHXJ’s LIS 數位dp+LIS思想
CF 55D Beautiful Numbers 比較巧妙的數位dp
hdu 3565 Bi-peak Numbers 比較難想
CF 258B Little Elephant and Elections 數位dp+組合數學+逆元
概率(期望) dp
ural 1776 Anniversiry Firework 比較基礎
hdu 4418 Time travel 比較經典BFS+概率dp+高斯消元
hdu 4586 Play the Dice 推公式比較水
hdu 4487 Maximum Random Walk
jobdu 1546 迷宮問題 高斯消元+概率dp+BFS預處理
hdu 3853 LOOPS 簡單概率dp
hdu 4405 Aeroplane chess 簡單概率dp,比較直接
hdu 4089 Activation 比較經典
poj 2096 Collecting Bugs 題目比較難讀懂
zoj 3640 Help me Escape 從後往前，比較簡單
hdu 4034 Maze 經典好題，藉助樹的概率dp
hdu 4336 Card Collector 狀態壓縮+概率dp
hdu 4326 Game 這個題狀態有點難抽象
狀態壓縮dp
這類問題有TSP、插頭dp(輪廓線DP）等。
hdu 1693 Eat the Trees 插頭dp
hdu 4568 Hunter 最短路+TSP
hdu 4539 插頭dp
hdu 4529 狀壓dp
poj 1185 炮兵陣地
poj 2411 Mandriann’s Dream 輪廓線dp
hdu 3811 Permutation
poj 1038
poj 2441
hdu 2167
hdu 4026
hdu 4281